Question

Dany jest trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym przy wierzchołku C. W tym trójkącie poprowadzono środkowe AD i BE.
Udowodnij, że .

Answer 1

Niech AC = b , BC = a, AB = c -> AE = b/2 , BD = a/2
zatem z tw. Pitagorasa a^2 + b^2 = c^2
ponieważ trójkąty ADC i BEC też są prostokątne to znowu z tw. Pitagorasa:
AD^2 = b^2 + (a/2)^2 = b^2 + a^2/4
BE^2 = a^2 + (b/2)^2 = a^2 + b^2/4
4*(AD^2 + BE^2) = 4* (b^2 + a^2/4 + a^2 + b^2/4) = 4b^2 + a^2 + 4a^2 + b^2 = 
5a^2 + 5b^2 = 5( a^2+b^2) = 5c^2 c.b.d.u