Question

Dany jest trójkąt ABC, gdzie A(-2,-1) B(6,0) C(3,2) Oblicz długość wysokości tego trójkąta poprowadzonej z wierzchołka A .

Answer 1

Wyznaczam równanie prostej przechodzącej przez punkty B i C
układ równan
0 = 6a + b →b=-6a
2 = 3a + b
a = -⅔ (-dwie trzecie)
b=4
równanie prostej y = -²/₃x+4
Wysokosć będzie leżała na prostej prostopadłej do tej i przechodzacej przez punkt A
a₁ = -1/a₁
zatem w drugiej prostej a₁ = 3/2 = 1,5
y = 1,5x + b
szukam współczynnika b
A(-2,-1)
-1 = 1,5×(-2) + b
b = 2
ostatecznie y=1,5x + 2

aby obliczyć długość wysokosci AD obliczam współrzędne przeciecia prostych prostopadłych → punktu na który spada wysokosć
y = -²/₃x+4 i y=1,5x + 2
-²/₃x+4 = 1,5x + 2
3/2x + 2/3x = 4-2
13x = 12
x = ¹²/₁₃ , y = 3 ⁵/₁₃
D = (¹²/₁₃ ,3 ⁵/₁₃)
A(-2,-1)
teraz wystarczy policzyć długość odcinka AD
AD = √[( -2-¹²/₁₃ )²+(-1-3 ⁵/₁₃)² ]=√[(38/13)²+(44/13)²]=√3380/169 =
√(169×20/169 = √20 = 2√5
odp. wysokość ma długosć 2√5