Question

Dany jest równoległobok o wierzchołkach
a=(3,0)
b=(6,4)
c=(3,6)
d=(0,2)
Oblicz długość obu wysokości równoległoboku

Mile widziany rysunek ;p
Dziękuję ;******8

Answer 1

To jest nasz równoległobok:
http://i40.tinypic.com/jk8vnq.jpg


Wysokość jest rzutem prostokątnym. Inaczej mówiąc - opada z wierzchołka na bok lub jego przedłużenie pod kątem prostym:
http://i41.tinypic.com/2q0ouio.jpg


więc szukamy prostej prostopadłej do boku AD przechodzącej przez punkt C - wyznaczy nam ona punkt E. Potrzeba nam równania prostej AD:

A(3,0)
D(0,2)

y=ax+b

0=3a+b
2=0a+b

z drugiego równania mamy
b=2

wstawiamy do pierwszego:
0=3a+b
0=3a+2
3a=-2 |:3
a=-⅔

równanie prostej AD to: y=-⅔x+2

prosta prostopadła zachowuje warunek:
a₁*a₂=-1
-⅔*a₂=-1 |:(-⅔)
a₂=³/₂

współczynnik "a" prostej prostopadłej to ³/₂ więc jej równanie to:
y=³/₂x+b

wiedząc, że prosta prostopadła do AD musi przejść przez punkt C by wyznaczała wysokość to:
C(3,6)
6=³/₂*3+b
6=⁹/₂+b
b=6-⁹/₂
b=¹²/₂-⁹/₂=³/₂

a więc prosta prostopadła ma równanie y=³/₂x+³/₂

trzeba nam obliczyć punkt przecięcia tej prostej z prostą AD i ten punkt nazwiemy E:
y=³/₂x+³/₂
y=-⅔x+2

-⅔x+2=³/₂x+³/₂
-⅔x-³/₂x=³/₂ - 2
-⁴/₆x-⁹/₆x=³/₂-⁴/₂
-¹³/₆x=-½ *(-6)
13x=3 |:13
x=³/₁₃

oraz:
y=-⅔x+2
y=-⅔*(³/₁₃)+2
y=-²/₁₃+²⁶/₁₃
y=²⁴/₁₃

punkt E ma współrzędne E(³/₁₃,²⁴/₁₃)

długość wysokości to odcinek CE
C(3,6)
E(³/₁₃,²⁴/₁₃)

h₁=|CE|=√(3-³/₁₃)²+(6-²⁴/₁₃)²
h₁=|CE|=√(³⁶/₁₃)²+(⁵⁴/₁₃)²
h₁=|CE|=√³²⁴/₁₃=¹⁸/√₁₃

można usunąć niewymierność z mianownika... mamy długość pierwszej wysokości - podobnie można zrobić z drugą lub... obliczyć pole równoległoboku bo mamy jedną wysokość i z pola obliczyć drugą:
długość boku |AD|:
A(3,0)
D(0,2)

|AD|=√(3-0)²+(0-2)²=√9+4=√13

Pole równoległoboku:
P=a*h₁=|AD|*|CE|=√13 * ¹⁸/√₁₃ = 18

liczymy długość boku AB:
A(3,0)
B(6,4)
|AB|=√(6-3)²+(4-0)²=√9+16=√25=5

no i teraz:
P=b*h₂
18=5*h₂ |:5
h₂=¹⁸/₅


h₁=¹⁸ / √₁₃ = (18√13)/₁₃
h₂=¹⁸/₅