Question

Dany jest równoległobok ABCD. Na przekątnej BD obrano dowolny punkt P , a na bokach BC i CD takie punkty K i L , że PK równoległe do AB i PL równoległe do AD.
Odcinki AK i AL przecinają przekątną BD w punktach M i N( odpowiednio) . Udowodnij , że pole trójkąta AMN jest równe sumie pół trójkątów BKM i DLN

Answer 1

Narysuj tę całą sytuację - równoległobok ABCD, przekątną BD.
Obierz na BD punkt P i poprowadź odcinki PK i PL.
Poprowadź odcinki AL, AK i zaznacz punkty M i N.
Poprowadź też odcinek AP.
Odcinek AP dzieli trójkąt AMN na trójkąty APM i APN.

Oznaczyłam sobie:
|PR|=a
|KR|=b
|BR|=ta
Pole trójkąta PKM=R

Trójkąty PKM i ABM są podobne, więc
|AM|=tb

W czworokącie ABKP:
- trójkąty PMK i MBK mają wspólną wysokość poprowadzoną z punktu K, więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości podstaw PM i MB, więc
pole trójkąta MBK jest równe tR

- trójkąty AMP i MKP mają wspólna wysokość poprowadzoną z punktu P, więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi podstaw AM i MK, więc
pole trójkąta APM jest równe tR

Oznaczyłam sobie:
|PN|=c
|NL|=d
|ND|=kc
Pole trójkąta NPL=S

Trójkąty ADN i PLN są podobne, więc
|AN|=kd

W czworokącie APLD:
- trójkąty DNL i PLN amją wspólną wysokość opuszczoną z punktu L, więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości podstaw DN i PN, więc
pole trójkąta DNL=kS

- trójkąty APN i PNL mają wspólną wysokość opuszczoną z punktu P, więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi podstaw AN i LN, więc
pole trójkąta APN=kS

I mamy: