Question

Dany jest prostopadłościan o krawędziach długości: x-4, x-2, 2x+6. Podaj wzór wielomianu opisującego objętość tego prostopadłościanu w zależności od x. Jaka jest dziedzina tej funkcji? Dla jakich wartości x objętość prostopadłościanu jest równa 48? Za rozwiązanie z dokładnym tłumaczeniem daję najlepszą odpowiedź. To zadanie było podane przy temacie rozkład wielomianu na czynniki za pomocą grupowania, więc wnioskuję, że musi to być rozwiązane tym sposobem, ale jak, niestety nie wiem. Proszę o pomoc i pozdrawiam!

Answer 1

wymiary bryły;

a=x-4

b=x-2

c=2x+6

 

v=abc=(x-4)(x-2)(2x+6)=(x²-2x-4x+8)(2x+6)=

(x²-6x+8)(2x+6)=2x³+6x²-12x²-36x+16x+48=

2x³-6x²-20x+48=wzór na objętośc

 

2x³-6x²-20x+48=48

2x³-6x²-20x=48-48

x(2x²-6x-20)=0

x=0 lub Δ=b²-4ac=36+160=196

√Δ=14

x₁=[-b-√Δ]/2a=[6-14]/4=-2 odpada, bo liczba ujemna spowodowałaby długośc boku o wartości ujemnej, bo :

a=x-4 i a byłoby równe -2-4=-6

b=x-2 i b byłoby równe -2-2=-4

c=2x+6 i c byłoby równe 2×(-2)+6=2 i tylko c byłoby liczbą dodatnią

x₂=[-b+√Δ]/2a=[6+14]/4=5

 

x nie może również wynosić 0, bo ;

a=x-4=0-4=-4

b=x-2=0-2=-2

c=2x+6=2×0+6=6

więc te objetośc ma bryła jedynie dla x równego 5, bo;

a=x-4=5-4=1

b=5-2=3

c=2x+6=2×5+6=16

v=1×3×16=48

dziedziną wielomianu sa liczby, które spowodują, że boki będą liczbami dodatnimi, wiec

zarówno x-4 jak i x-2 musi być większe od 0, ale x-2>0

 więc x> 2 spełna ten warunek, ale nie jest on wystarczajacy dla drugiego równania, bo np. liczba 3 nie spowoduje ,że x-4 będzie dodatnie, więc ostatecznie;

x-4>0

x>4

więc D= (4;+∞)

czy wszystko jasne?

Answer 2

Wiadomo, że objętość to iloraz trzech  boków, więc:

V(x) = (x-4)(x-2)(2x+6).

Jak wiadomo, bok prostopadłościana musi być większy od 0. Więc pierwszy bok długości x-4 będzie większy od 0, gdy x>4, drugi bok - gdy x>2, trzeci bok - gdy x > -3. Trzeba teraz wziąć największą liczbę (czyli tę czwórkę) i wpisać tę nierówność to dziedziny. Więc dziedziną będzie x>4.

Teraz z zadania musimy rozwiązać nierówność:

(x-4)(x-2)(2x+6)=48. Uważam, że w wielomiani V(x) należy pozbyć się nawiasów, więc mamy:

(otrzymaliśmy mnożąc po kolei składniki z nawiasów). Więc mamy równanie: 

Wyciągamy x przed nawias.

Więc żeby to było równe 0, to to co stoi przed nawiasem musi być równe 0, lub to, co jest w nawiasie musi być równe 0. Więc mamy:

lub x=0.

Wyliczmy to równanie kwadratowe, korzystając z delty.

Równanie ma dwa rozwiązania:

Więc mamy rozwiązania:

x=-2 LUB x=0 LUB x=5. Dziedzina to x>4, więc do dziedziny należy tylko i wyłącznie 5. Także 5 tylko spełnia to równanie. Czyli tą wartością będzie piątka (prostopadłościan będzie wtedy miał boki 1x3x16)