Question

Dany jest prostokąt o bokach ABCD 6 i 8.Wierzchołek A połączono ze środkami przeciwległych boków i w ten sposób podzielono prostokąt na czworokąt i dwa trójkąty prostokątne.Oblicz wartości trygonometrycznych kątów tych trójkątów.

Answer 1

Rysunek jest w załączniku.

|AE|² = 6² + 4²

|AE|² = 36 + 16

|AE|² = 52

|AE| = √52

|AE| = 2√13

 

|AF|² = 8² + 3²

|AF|² = 64 + 9

|AF|² = 73

|AF| = √73

 

Do rozwiązania zadania wystaczą informacje, że:

sin danego kąta to stosunek długości przyprostokątnej znajdującej się naprzeciw kąta do długości przeciwprostokątnej w danym trójkącie

 

cos to stosunek długości przyprostokątnej znajdującej się przy kącie do długości przeciwprostokątnej w danym trójkącie

 

tg to stosunek długości przyprostokątnej znajdującej się naprzeciw kąta do długości tej, która znajduje się przy kącie

 

a ctg odwrotnie do tg

 

więc:

sin α = 4/2√13 = 2/√13 = 2√13/13

cos α = 6/2√13 = 3/√13 = 3√13/13

tg α = 4/6 = 2/3

ctg α = 6/4 = 3/2

 

Kąty α i β dają w sumie 90 stopni, ponieważ:

suma miar kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180 stopni, prosty ma miarę 90 stopni, więc pozostałe w sumie 180 - 90 = 90

Czyli α + β = 90 stopni

β = 90 stopni - α

a jest taka zależność, że sin α = cos (90st - α)

cos α = sin (90st - α)

tg α = ctg (90st - α)

ctg α = tg (90st - α)

 

 

zatem mamy:

sin β = cos α = 3√13/13

cos β = sin α = 2√13/13

tg β = ctg α = 3/2

ctg β = tg α = 2/3

 

Teraz dla kąta γ (czyli kąt BAF)

sin γ = 3/√73 = 3√73 / 73

cos γ = 8/√73 = 8√73 / 73

tg γ = 3/8

ctg γ = 8/3

 

δ = 90 st - γ

sin δ = cos γ = 8√73 / 73

cos δ = sin γ = 3√73 / 73

tg δ = ctg γ = 8/3

ctg δ = tg γ = 3/8

 

Jeżeli nie chcesz korzystać z tych zalezności o funkcjach trygonometrycznych kątów, których miary mają w sumie 90 stopni, możesz wyliczyc wartości f. tryg. dla kątów β i δ również z definicji, czyli np. dla δ

sin δ = 8/√73 = 8√73 / 73 ponieważ 8 to przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta, a √73 to przeciwprostokątna

itd.

 

W wielu przypadkach usuwałam niewymiernosc, np. w powyższym

8 / √73 = 8/√73 * √73 / √73 = 8√73/73 myślę, że wiesz o co chodzi, w razie pytań pisz

Answer 2

dluzszy bok ab=8

krotszy bok bc=6

 powstaly nam 2 trokaty prostokatne :

a)jeden o wymiarach przyprostokatnych :8 i ½bc =3cm

kat przy wierzcholku =α

tgα=3/8

ctgα=8/3

3²+8²=x²=>9+64=x²=>x=√73--->przeciwprostokatna 

sinα=3/√73 =(3√73)/73

cosα=8/√73=(8√73)/73

 

sinβ=8/√73=(8√73)/73

cosβ=3/√√73=(3√73)/73

tgβ=8/3

ctgβ=3/8

 

 

b)drugi trojkat prostokatny  ma wymiary :

dluzsza przyprostokatna ½dc=½·8=4

krotsza przyprostokatna =6

przeciwprostokatna =y

kat α lezy przy wierzcholku a

tgα=½dc/ad =4/6=2/3

ctgα=ad/½dc=6/4=3/2

6²+4²=y² => 36+16=y² =>y=√52=2√13

sinα=½dc/y=4/(2√13)=2/√13=(2√13)/13

cosα =ad/y=6/√13 =(1√13)/13

 

sinβ=6/y=6/√13=(6√13)/13

cosβ=4/y=4/√13=(4√13)/13

tgβ= 6/4=3/2

ctgβ=4/6=2/3