Question

Dany jest okrąg O: (x-3)² + (y+1)²=7. Wyznacz równanie okręgu O' , będącego obrazem okręgu O w symetrii osiowej względem prostej k: 2x + y - 1 =0.

Answer 1

(x -3)² + (y +1)² = 7 , k: 2x +y - 1 = 0
S =(3; -1) - środek okręgu
y = -2x +1 - równanie prostej w postaci kierunkowej
Szukamy prostej prostopadłej do k i przechodzącej przez punkt S:
y = (1/2)*x + b oraz S=(3; -1)
-1 =(1/2)*3 + b
b = -1 -3/2 = -5/2
y =(1/2)*x - 5/2
Szukamy punktu wspólnego tych dwóch prostych:
y = -2x + 1
y =(1/2)*x - 5/2
-------------------
-2x +1 =(1/2)*x -5/2 I mnożymy obie strony równania przez (-2)
4x -2 = -x +5
5x = 5+2 = 7
x = 7/5
y = -2*(7/5) + 1 = -14/5 +5/5 = -9/5

W =( 7/5; -9/5)
Szukamy środka okręgu symetrycznego do danego okręgu
względem prostej k.
S1 =(x1;y1) , punkt W jest środkiem odcinka S1S, czyli
(x1 + 3)/2 = 7/5 oraz ( y1 -1)/2 = -9/5
5x1 +15 = 14 oraz 5y1 -5 = -18
5x1 =14 -15 = -1 oraz 5y1 =-18 +5 = -13
x1 = -1/5 = -0,2 oraz y1 = -13/5 = -2,6
Zatem środek okręgu symetrycznego ma środek
O1 = ( -0,2 ; -2,6)
Równanie okręgu symetrycznego względem prostej k do
okręgu o równaniu (x - 3)² + ( y + 1)² = 7
jest następujące
(x + 0,2)² + ( y +2,6)² = 7