Question

Dany jest czworokąt ABCD o wierzchołkach A(1,2), B(5,3), C(3, 4.25), D(2,4):
a)uzasadnij,że czworokąt ten jest trapezem o podstawach AB i CD
b)znajdź współrzędne punktu, w którym wysokość tego trapezu, opuszczona z wierzchołka C, przecina podstawę AB

Answer 1

A = (1;2), B = (5;3), C = (3; 4,25), D = (2; 4)

a)

-->

AB = [ 5 -1; 3 -2 ] = [ 4; 1 ]

-->

DC = [ 3 - 2; 4,25 -4 ] = [ 1; 0,25]

zatem

[4; 1] = 4* [ 1 ; 0,25 ]

czyli te wektory są równoległe, a zatem boki: AB i CD są równoległe.

Odcinki AB, CD są podstawami trapezu ABCD.

============================================

b)

Prosta AB

y = a x + b

 

2 = a*1 + b

3 = a*5 + b

--------------

a + b = 2

5a + b = 3

----------------- odejmujemy stronami

5a - a = 3 - 2

4a = 1 / : 4

a = 1/4

-----------

b = 2 - a = 2 - 1/4 = 7/4

------------------------------

pr AB :

y = (1/4) x + 7/4

================

Prosta CP  prostopadła do pr AB

a* a1 = - 1

(1/4)*a1 = - 1 --> a1 = - 4

y = - 4 x + b1  oraz  C = ( 3; 4,25 )

4,25 = -4*3 + b1

4,25 = -12 + b1

b1 = 4,25 + 12 = 16,25

pr CP :

y = - 4x + 16,25

===============

Szukam współrzędnych punktu P

(1/4)x + 7/4 = - 4x + 16,25   / * 4

x + 7 = - 16x + 65

x + 16x = 65 - 7

17x = 58

x =  58/17

-------------

y = (1/4)*(58/17) + 7/4 = 58/68 + 7/4 = 58/68 + 119/68 = 177/68

-------------------------------------------------------------------------------

Odp. P = ( 58/17 ; 177/68 )

=========================