Question

Dany jest ciąg a n = 2n2 – 3n. Podaj pierwsze cztery wyrazy tego ciągu i dla nich narysuj jego wykres. 2. W ciągu arytmetycznym a 2 = 7, a 3 = 5. Oblicz a 26 i sumę dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu.

1. W ciągu geometrycznym a 2 =3, a 3 = 4,5. Oblicz a 5 i S 4.
2. Zbadaj, czy ciąg o wyrazie ogólnym a n = 3n - 5 jest ciągiem rosnącym.

Answer 1

z.1

an = 2 n^2 - 3n

a1 = 2*1^2 -3*1 = 2 - 3 = - 1

a2 = 2*2^2 -3*2 = 8 - 6 = 2

a3 = 2*3^2 - 3*3 = 18 - 9 = 9

a4 = 2*4^2 -3*4 = 32 - 12 = 20

Mamy punkty:

A = ( 1; -1), B = ( 2; 2), C = ( 3; 9), D = ( 4; 20)

Wykres to te punkty: A,B,C,D

=============================

z.2

Ciąg arytmetyczny

a2 = 7

a3 = 5

więc  r = a3 - a2 = 5 - 7 = - 2

a2 = a1 + r  --->a1 = a2 - r = 7 - (-2) = 9

a1 = 9  oraz  r = - 2, zatem

a26 = a1 + 25*r = 9 + 25*(-2) = 9 - 50 = - 41

==========================================

a20 = a1 + 19*r = 9 +19*(-2) = 9 - 38 = - 29

zatem

S20 = 0,5*[ a1 + a20]*20 = 10*[9 +( -29)] = 10*(- 20) = - 200

========================================================

z.3

Ciąg geometryczny

a2 = 3

a3 = 4,5

zatem  q = a3 : a2 = 4,5 : 3 = 1,5

a2 = a1*q ---> a1 = a2 : q = 3 : 1,5 = 2

a1 = 2   i  q = 1,5

zatem

a5 = a1*q^4 = 2*(1,5)^4 = 2*(3/2)^4 = 2*(81/16) = 81/8 = 10  1/8

oraz

S4 = a1*[1 - q^4]/[1 - q] = 2*[ 1 - (3/2)^4]/[ 1 - 3/2] =

= 2*[ 1 - 81/16]/ ( - 1/2) = - 4*[ 16/16 - 81/16] = - 4 *( - 65/16) =

= 65/4 = 16  1/4

====================

z.4

an = 3n - 5

zatem

an+1 = 3*(n+1) - 5 = 3n + 3 - 5 = 3n - 2

oraz

an +1 - an = [3n - 2] - [ 3n - 5] = -2 + 5 = 3 > 0

Ciąg an  jest rosnący.

=====================

Dodatkowe  zadania:

z.1

an = 4 n^2 - 3

zatem

an+1 = 4 *(n+1)^2 - 3 = 4*(n^2 + 2n + 1) - 3 = 4 n^2 + 8 n + 4 - 3

an+1 = 4 n^2 + 8 n + 1

czyli

an+1 - an = [ 4 n^2 + 8n + 1 ] - [ 4 n^2 - 3 ] = 8 n + 4 > 0   dla dowolnej

liczby naturalnej n, więc dany ciąg jest rosnący.

z.2

( 2x, x^2 + x + 5, x - 7 ) 

Aby ten ciąg był ciągiem arytmetycznym  musi zachodzić równość

(x^2 + x + 5] - 2x = ( x - 7) - (x^2 +x + 5]

x^2 + x - 2x + 5 = x - 7 - x^2 -x - 5

x^2  - x + 5  = - x^2 - 12

2 x^2  - x + 17 = 0

------------------------

delta = (-1)^2 - 4*1*17 = 1 - 68 < 0

Równanie nie ma rozwiązań, czyli nie ma takiej liczby x , by dany ciąg

był ciągiem arytmetycznym.

-------------------------------------

Dla x = 2  mamy

a1 = 2*2 = 4

a2 = 2^2 + 2 + 5 = 11

a3 = 2 - 7 = - 5

a2 : a1 = 11/4

oraz

a3 : a2 = - 5/11

Ten ciąg dla x = 2  nie jest ciągiem geometrycznym, bo liczby 11/4  i  - 5/11

nie są równe.

=============