Question

Dane są punkty A(-5,1), B(3,1), C(-2,6). Oblicz współrzędne punktu będącego ortocentrum tego trójkąta.

Answer 1

Odpowiedź:

Ortocentrum w trójkącie , to punkt przecięcia trzech wysokości trójkąta. Dla

obliczenie współrzędnych tego punktu wystarczy obliczyć współrzędne przecięcia dwóch wysokości

1. Obliczamy prostą zawierająca wierzchołki A i B

A = (-5 , 1) , B = ( 3 , 1 )

xa = - 5 , xb = 3 , ya = 1 , yb = 1

(xb - xa)(y - ya) = ( yb - ya)(x - xa)

(3+ 5)(y - 1) = (1 - 1)(x+ 5)

8(y-1) = 0 * (x + 5)

8y - 8 = 0

8y = 8

y = 8/8 = 1

2. Obliczamy prostą zawierającą wierzchołki A i C

A = ( - 5 , 1 ) , C = ( - 2 , 6 )

xa = - 5 , xc = - 2 , ya = 1 , yc = 6

(xc - xa)(y - ya) = (yc - ya)(x - xa)

(-2 + 5)(y - 1) = (6 - 1)(x + 5)

3(y - 1) = 5(x + 5)

3y - 3 = 5x + 25

3y = 5x + 25 + 3

3y = 5x + 28

y =  (5/3)x + 28/3 = (5/3)x + 9 1/3

3. Obliczamy prostą zawierającą wysokość opuszczoną na IABI

Wysokość jest prostopadłą do prostej przechodzącej przez wierzchołki A i B i przechodzi przez wierzchołek C = ( - 2 , 6 )

y = 1

Prosta prostopadła do tej prostej i przechodząca przez C ma wzór:

x = - 2

4.

Obliczamy prostą zawierającą wysokość opuszczoną na IACI

Wysokość jest prostopadła do prostej i przechodzi przez wierzchołek

B = ( 3, 1 )

y = (5/3)x + 28/3

a₁ - współczynnik kierunkowy prostej = 5/3

b₁ - wyraz wolny = 28/3

warunek prostopadłości prostych

a₁ * a₂ = - 1

a₂ = - 1 : a₁ = - 1 : 5/3 = - 1 * 3/5 = - 3/5

y = a₂x + b₂ = (-3/5)x + b₂ ; B = ( 3 , 1 )

1 = - 3/5 * 3 + b₂

1 = - 9/5 + b₂

b₂ = 1 + 9/5 = 1 9/5 = 2 4/5

y = (- 3/5)x + 2 4/5

5. Obliczamy współrzędne ortocentrum z układu równań

y = (-3/5)x + 2 4/5

x = - 2

y = - 3/5 * (- 2) + 2 4/5 = 6/5 + 2 4/5 = 1 1/5 + 2 4/5 = 3 5/5 = 4

Współrzędne ortocentrum = ( - 2 , 4 )