Question

Dane są punkty A=( -1 ; 1)

B=( 2;-3)

C=(0 ; 4)

Napisz rownania prostej:

a) rownoleglej do AB przechodzacej przez punkt C

b) prostopadłej do AB przechodzacej przez punkt C

Answer 1

"*"-mnożenie

punkt A =( -1 ; 1) gdzie  -1=x  , 1=y

punkt B=( 2;-3) gdzie 2=x  , -3=y

 

Musimy obliczyć "a" prostej AB np. ze wzoru w tablicach :

(y-yA)(xB-xA)-(yB-yA)(x-xA)=0

podstawiamy :

(y-1)(2+1)-(-3-1)(x+1)=0

(y-1)*3 - (-4)(x-1)=0

3y-3+4x-4=0

3y+4x=7

3y=-4x+7 / :3

y=-4/3x + 7/3     =>       -4/3=a           7/3=b 

 

a) aby prosta była równoległa do prostej AB musi zajść warunek a1=a2

a1 - prostej AB            a2= prostej równoległej do prostej AB

 

Prosta równoległa do prostej AB przechodzi przez punkt C=(0 ; 4) gdzie    0=x  ,   4=y 

 

Obliczamy "b" prostej równoległej do prostej AB

podstawiamy do wzoru na równanie kierunkowe prostej :

 y=ax+b

4=-4/3 * 0 + b

b=4  

więc równanie prostej równoległej do prostej AB przechodzącej przez punkt C to :          y= -4/3 +4

 

b) Aby dwie proste były prostopadłe musi zajśc warunek a1*a2=-1

wzór prostej AB obliczony wcześniej to : y=-4/3x + 7/3  , a=-4/3

 

korzystamy z warunku, który musi zajść a1*a2=-1 i podstawiamy za a1 -4/3

wychodzi nam -4/3*a2=-1 / : (-4/3)

                      a2=-1 : (-4/3)

                      a2= -1 *(-3/4)

                      a2= 3/4

 

wiemy, że prosta prostopadła do prostej AB przechodzi przez punkt C=(0 ; 4)

gdzie    0=x,     4=y

korzystamy ze wzoru na równanie kierunkowe prostej : y=ab+b i podstawiamy :   4=3/4 *0 +b

                        b=4

Mamy już "a" i "b" prostej prostopadłej do prostej AB i z tego układamy równanie na podstawie równania kierunkowego:

y=3/4x + 4