Question

Dane są dwa okręgi styczne zewnętrznie : okrąg o środku w punkcie O1 i promieniu r2=2m oraz okrąg o środku w punkcie o2 i promieniu r1=6-m , gdzie m należy do (o,6) . Odcinek O1O2 ma długość 7 .

a) oblicz dłygość promieni r1 i 2r

b) prosta k jest styczną zewnętrzną do obu okręgów . Prosta O1O2 przecina prostą k w punkcie A. Oblicz lAO2l

Answer 1

o(O₁, r₂) i o(O₂, r₁) są styczne zewnetrznie

r₂ = 2m i r₁ = 6 - m, gdzie m ∈ (0; 6)

|O₁O₂| = 7

 

a)

o(O₁, r₂) i o(O₂, r₁) są styczne zewnetrznie, czyli odległość między środkami okręgów jest równa sumie promieni. Zatem:

|O₁O₂| = r₁ + r₂

7 = 2m + 6 - m

7 = m + 6

m = 7 - 6

m = 1

 

r₂ = 2m = 2 · 1 = 2

r₁ = 6 - m = 6 - 1 = 5

 

Odp. Promienie mają długość 2 i 5.

 

b)

Oznaczenia jak na rysunku - patrz załącznik

k - prosta styczna zewnętrznie do obu okręgów

A - punkt przecięcia prostej O₁O₂ i prostej k

S₁, S₂ - punkty styczności prostej k i okręgów

 

Jeżeli prosta k jest styczna do okręgów to znaczy, że jest prostopadła do promieni wychodzących z punktów styczności. Zatem trójkąty AS₁O₁ i AS₂O₂ są trójkątami prostokątnymi oraz są to trójkąty podobne (cecha kkk). Stąd na podstawie podobieństwa trójkątów otrzymujemy:

 

 

Zatem:

 

Stąd:

 

Odp. |AO₂| wynosi 11⅔.