Dane są dwa okręgi o środkach A i B oraz promieniachrównych30cmi 10cm, styczne zewnętrznie i styczne.... Question from @Hertixus

November 2018 1 11 Report

Dane są dwa okręgi o środkach A i B oraz promieniachrównych30cmi 10cm, styczne zewnętrznie i styczne do pewnej prostej. Oblicz pole zacieniowanej części płaszczyzny(jak na rysunku).

Zgłoś nadużycie! ABCD to trapez prostokątny
$|AD|=R=30cm$

$|BC|=r=10cm$

$|AB|=R+r=30+10=40cm$

$|AE|=R-r=30-10=20cm$

Pole zacieniowanej figury to różnica pola trapezu i sumy pól dwóch wycinków kołowych

Obliczam $|EB|$
$|EB|^2=|AB|^2-|AE|^2$

$|EB|^2=40^2-20^2$

$|EB|^2=1600-400$

$|EB|^2=1200$

$|EB|=\sqrt{1200}$

$|EB|=20\sqrt{3}cm$

Obliczam pole trapezu
$P=\frac{(|AD|+|BC|)|EB|}{2}$

$P=\frac{(30+10)\cdot 20\sqrt{3}}{2}$

$P=40\cdot 10\sqrt{3}$

$P=400\sqrt{3}cm^2$

Obliczam $\alpha$
$cos\alpha=\frac{|AE|}{|AB|}$

$cos\alpha=\frac{20}{40}$

$cos\alpha=\frac{1}{2}$

$\alpha=60^o$

Obliczam $\beta$
$\beta=90^o-\alpha+90^o$

$\beta=180^o-60^o$

$\beta=120^o$

Obliczam pole wycinka większego koła
$P_1=\frac{\alpha}{360^o}\pi R^2$

$P_1=\frac{60^o}{360^o}\cdot 30^2 \pi$

$P_1=\frac{1}{60}\cdot 900 \pi$

$P_1=15 \pi cm^2$

Obliczam pole wycinka mniejszego koła
$P_2=\frac{\beta}{360^o}\pi r^2$

$P_2=\frac{120^o}{360^o}\cdot 10^2 \pi$

$P_2=\frac{1}{3}\cdot 100 \pi$

$P_2=\frac{100}{3} \pi cm^2$

Obliczam pole zacieniowanej figury
$P_f=P-(P_1+P_2)$

$P_f=400\sqrt{3}-\left(15 \pi+\frac{100}{3} \pi\right)$

$P_f= \left(400\sqrt{3}-\frac{145}{3} \pi\right)cm^2$

4 votes Thanks 4