Question

Dane jest wyrażenie: (x-2)³-(x+1)³

a) Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci.

b) Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej x wartość tego wyrażenia jest liczbą całkowitą ujemną, podzielną przez 9.

Dane jest wyrażenie: (x-1)³-(x+2)³

a) Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci.

b) Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej x wartość tego wyrażenia jest liczbą całkowitą ujemną, podzielną przez 9.

Answer 1

1.

a)

 

b)

 

 

Na podstawie własności podzielności liczb "Jeżeli w iloczynie jeden czynnik jest podzielny przez daną liczbę, to cały iloczyn jest podzielny przez tę liczbę".

 

W iloczynie 9 · (- x² + x - 1) liczba 9 jest podzielna przez samą siebie, zatem cały iloczyn jest podzielny przez 9, czyli 9 | y

 

Sprawdzimy dla jakich x, wartość wyrażenia (x-2)³-(x+1)³ jest liczbą całkowitą ujemną, czyli y < 0:

 

 

Zatem funkcja nie ma miejsc zerowych, a < 0, czyli wartości dla kadego x są ujemne, zatem jeśli x ∈ C to y ∈ C⁻, bo suma liczb całkowitych jest liczbą całkowitą, co należało wykazać

 

 

2.

a)

 

b)

 

 

Na podstawie własności podzielności liczb "Jeżeli w iloczynie jeden czynnik jest podzielny przez daną liczbę, to cały iloczyn jest podzielny przez tę liczbę".

 

W iloczynie 9 · (- x² - x - 1) liczba 9 jest podzielna przez samą siebie, zatem cały iloczyn jest podzielny przez 9, czyli 9 | y

 

Sprawdzimy dla jakich x, wartość wyrażenia (x-1)³-(x+2)³ jest liczbą całkowitą ujemną, czyli y < 0:

 

 

Zatem funkcja nie ma miejsc zerowych, a < 0, czyli wartości dla kadego x są ujemne, zatem jeśli x ∈ C to y ∈ C⁻, bo różnica liczb całkowitych jest liczbą całkowitą, co należało wykazać