Question

Dane jest równanie |x2+2x−8|=5m−25 z niewiadomą x. Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru m (m∈R), dla których rozwiązanie ma cztery różne rozwiązania, w tym dokładnie dwa ujemne.

Answer 1

Rozwiązanie:

Zadanie można rozwiązać w następujący sposób: naszkicować wykres funkcji z lewej strony równania, a następnie odczytać szukane wartości parametru .

Zacznijmy od przekształcenia funkcji kwadratowej do postaci kanonicznej (aby móc narysować wykres):

Zatem:

Taki wykres dość łatwo narysować - szkicujemy parabolę, a następnie odbijamy symetrycznie to, co pod osią ponad nią (wykres w załączniku).

Teraz musimy sobie wyobrazić prostą np. , równoległą do osi . Z wykresu widzimy, że prosta taka będzie przecinać wykres funkcji dokładnie w czterech miejscach (czyli równanie będzie miało cztery różne rozwiązania) dla . Musimy jeszcze spojrzeć, kiedy będą istnieć dwa rozwiązania ujemne. Będzie tak tylko i tylko wtedy, gdy . Zatem możemy zapisać, że:

Zatem ostatecznie otrzymamy: