Question

Dana jest rodzina funkcji kwadratowych zmiennej rzeczywistej x, opisana wzorem f(x)=½x²+ax-6, gdzie a jest liczba rzeczywista
a) Dla a=1 wyznacz zbior tych argumentow, dla ktorych funkcja f przyjmuje wartosci wieksze niz funkcja liniowa g(x)=x-a
b) wyznacz liczbe a, dla ktorej zbiorem wartosci funkcji f jest przedzial (-nieskonczonosci,0>.

Answer 1

Dana jest rodzina funkcji kwadratowych zmiennej rzeczywistej x, opisana wzorem f(x)=½x²+ax-6, gdzie a jest liczba rzeczywista
a) Dla a=1 wyznacz zbiór tych argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości większe niż funkcja liniowa g(x)=x-a

a = 1
f(x)=½x²+x-6
g(x)=x-1
½x²+x-6>x-1
½x²>5
x²>10
x>√10 lub x<-√10

b) wyznacz liczbę a, dla której zbiorem wartości funkcji f jest przedział(-∞;0>

Ponieważ współczynnik stojący przy x² jest większy od 0, zatem wykresem funkcji jest parabola o ramionach skierowanych do góry. Zatem bez względu na wartość a, funkcja będzie przyjmowała wartości > 0 dla pewnych x - wynika to z własności funkcji kwadratowej. Jedynie dla pewnych x, gdzie x zawarte jest między jednym a drugim miejscem zerowym funkcji, funkcja przyjmuje wartości ujemne. Zatem nie istnieje takie a, dla którego zbiorem wartości funkcji f jest przedział (-∞;0>.