Question

dana jest funkcja:

1. y = -3(x-1) do potęgi 2 + 2

2. y=x2 +x - 12

3. y= - (x+3)(x-2)

a. oblicz współrzędne wierzchołka paraboli

b. podaj postać kanoniczną funkcji

c. oblicz miejsca zerowe funkcji

d. podaj postać iloczynową funkcji

e. narysuj wykres funkcji

f. zbiór wartości funkcji

g. monotoniczność

h. y max, y min.

i. oblicz wartość funkcji dla argumentu -1 oraz pierwiastek z 2

na jutro rano !!!!

Answer 1

1. y = -3(x-1) do potęgi 2 + 2

    y = -3(x-1)² +2

    y = a(x -p)² +q  - postać kanoniczna tójmianu kwadratowego

 

a)oblicz współrzędne wierzchołka paraboli

W = (p,q)

 p  = 1 q = 2

W = (1; 2)  - wspólrzedne wierzchołka paraboli

 

b)podaj postać kanoniczną funkcji

 y = a(x -p)² +q  - postać kanoniczna trójmianu kwadratowego

 y = -3(x -1)² + 2

 

c) oblicz  miejsca zerowe funkcji

 y = -3(x -1)² + 2 = 0

  -3(x² -2x+1) +2 = 0

  -3x² +6x -3 +2 = 0

  -3x² +6x -1 = 0

a = -3

b =  6

c = -1

∆ = b² - 4ac = 6² -4*(-3)*(-1) = 36 -12 = 24

√∆ = √24 = √(4*6 )= 2√6

x1= (-b - √∆):2a = (-6 -2√6):2*(-3) = (-6 -2√6) : (-6) = 1 + ⅓√6 ≈ 1,82

x2 =(-b + √∆):2a = (-6 +2√6):2*(-3) = (-6 +2√6) : (-6) = 1 - ⅓√6≈ - 0,18

 

d)  podaj postać iloczynową funkcji

y = a(x -x1)(x -x2) - postać iloczynowa

y = -3[x - (1 +⅓√6)]*[ x -(1 - ⅓√6)]

y = -3(x -1-⅓√6)(x -1+⅓√6)

 

e) narysuj wykres funkcji

jeśli znasz  współrzędne wierzchołka paraboli i miejsca zerowe funkcji można narysować wykres funkcji.

Parabola  jest ramionami skierowana w dół

Parabola przecina os OX w punktach x1 =  1 + ⅓√6 ≈ 1,82

  oraz  x2 = 1 - ⅓√6≈ - 0,18

Parabola przecina oś Oy w punkcie A = (0, -1)

Najwiekszym miejscem jest wierzchołek x = 1, y = 2

 

f)zbiór wartości funkcji

zbiorem wartości funkcji jest y ∈ (-∞; 2)

 

g) monotoniczność

dla przedziału (-∞; 1) funkcja rośnie

dla przedziału (1 ;+ ∞) funkcja maleje

 

h) y max =q =  2 ( współrzedna wierzchołka paraboli)  dla x = p = 1

   y min   nie istnieje

 

i)oblicz wartość funkcji dla argumentu -1 oraz pierwiastek z 2

f(x) = -3( x -1)² +2

f(-1) = -3*(-1 -1)² +2 = -3*(-2)² +2 = -12 +2 = -10

f(√2) = -3(√2 -1)² +2 = -3[(√2)² -2√2 +1) +2 = -3(2 -2√2 +1) = -3(3 -2√2) =

f(√2) = -9+6√2

 

 

2. y=x² +x - 12

a. oblicz współrzędne wierzchołka paraboli

a = 1

b = 1

c =  -12

Δ = b² -4*a*c = 1² - 4*1*(-12 ) = 1 + 48 = 49

W = (p; q)

W = (-b/2a;  -Δ/4a)

 

p = -b/2a = -1/ 2*1 = -½

q = -Δ/4a = -49/4*1 = - 12¼

W = ( -½;  -12¼)

 

b. podaj postać kanoniczną funkcji

 y = a(x -p)² +q - postać kanoniczna funkcji

y = x² +x - 12 = ( x +½)² - 12¼

y = ( x +½)² - 12¼

 

c. oblicz  miejsca zerowe funkcji

 y =  x² +x - 12

a = 1

b = 1

c =  -12

Δ = b² -4*a*c = 1² - 4*1*(-12 ) = 1 + 48 = 49

√Δ = √49 = 7

x1= (-b - √∆):2a = (-1 -7) : 2*1 = (-8) :2 = - 4

x2 =(-b + √∆):2a = (-1 +7) : 2*1 =  6 :2 = 3

 

d. podaj postać iloczynową funkcji

 y = a(x -x1) *(x -x2) - postać iloczynowa

 y = 1(x +4)*(x -3)

 

e. narysuj wykres funkcji

 

Parabola ramionami skoerowana jest w górę.

Wierzchołek paraboli ma współrzędne W = ( -½;  -12¼)

Parabola przecina oś OX w punktach x1 = -4, x2 = 3

Parabola przecina oś OY w punkcie A = ( 0, -12)

Najmniejszym punktem paraboli jest jej wierzchołek W = ( -½;  -12¼)

 

f. zbiór wartości funkcji

    y ∈ (-12¼; +∞)

 

g. monotoniczność

dla x∈ (-∞, -½ ) funkcja jest malejąca

dla x ∈( -½; +∞) funkcja jest rosnąca

 

h. y max, y min.

 y max  nie istnieje

 y min  = q  = -12¼  dla x = -½

 

i. oblicz wartość funkcji dla argumentu -1 oraz pierwiastek z 2

 y = f(x) =  x² +x - 12

f(-1) = (-1)² +(-1) -12 = 1 -1 -12 = -12

f(√2) = (√2)² + (√2) -12 = 2 +√2 -12 = -10 +2√2

 

 

3. y= - (x+3)(x-2)

    y = - (x² -2x +3x -6)

    y = -(x² +x -6)

    y = -x² -x +6

 a = -1

b = -1

c = 6

Δ = b² -4*a*c = (-1)² -4*(-1)*6 = 1 + 24 = 25

 

a. oblicz współrzędne wierzchołka paraboli

W = (p,q)

p= -b/2a =  1/ 2*(-1) = -½

q = -Δ/4a = - 25/4*(-1) = 25/4 = 6¼

 

W = (-½; 6¼)

 

b. podaj postać kanoniczną funkcji

 y = a( x -p)² +q

 y = -(x +½)² + 6¼

 

c. oblicz  miejsca zerowe funkcji

 y = -x² -x +6

a = -1

b = -1

c = 6

Δ = b² -4*a*c = (-1)² -4*(-1)*6 = 1 + 24 = 25

√Δ = √ 25 = 5

 

x1 = (-b -√Δ) :2*a = (1 -5): 2*(-1) = (-4) : (-2) = 2

x2 = (-b +√Δ) :2*a = (1 +5): 2*(-1) = 6 : (-2) = -3

 

d. podaj postać iloczynową funkcji

 y = a(x -x1)(x -x2)  - postać iloczynowa

 y = -(x -2) (x +3)

 

e. narysuj wykres funkcji

Parabola  jest ramionami skierowana w dół

Parabola przecina os OX w punktach x1 = 2, oraz  x2 = -3

Parabola przecina oś Oy w punkcie A = (0, 6)

Najwiekszym miejscem jest wierzchołek x=p = -½,  y =q = 6¼

 

f. zbiór wartości funkcji

 y ∈ (-∞; 6¼)

 

g. monotoniczność

dla x ∈ (-∞; -½) funkcja wzrasta

dla x ∈ ( -½; +∞) gunkcja maleje

 

h.

y max = 6¼

 y min. - nieistnieje

 

i. oblicz wartość funkcji dla argumentu -1 oraz pierwiastek z 2

f(x) = y =  -x² -x +6

f(-1) = -(-1) - (-1) +6 = 1 +1 +6 = 8

f(√2) = -(√2)² - √2 +6 = -2 - √2 + 6 = 4 -√2