Question

Dana jest funkcja f(x) = x^3 - px^2 + 5x - 2 .
Znajdz taka wartosc p, dla której funkcja f osiąga minimum w punkcie x=5.
Dla wyznaczonego p podaj przedziały monotoniczności funkcji f

Answer 1

Jeśli chodzi o minimum globalne, to nie może być w x=5, bo dla x->-∞, funkcja też
dąży do -∞, więc kres dolny wartości funkcji to -∞.
jeśli chodzi o minimum lokalne, to pochodna funkcji musi się zerować w 5, tzn:

ponieważ na lewo od 5 f'(x)<0 , a na prawo od 5 f'(x)>0 , to na pewno w x=5 jest minimum lokalne dla p=8 .
f'(x)=3(x-5)(x-1/3) -> dodatnie dla x∈(-∞,1/3)u(5,∞) , ujemne dla x∈(1/3, 5) ->
rośnie dla  x∈(-∞,1/3)u(5,∞) i maleje dla  x∈(1/3, 5)