Question

DAJĘ NAJ!
Proszę o SZYBKIE ROZWIĄZANIE!

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt między wysokością ściany bocznej a wysokością ostrosłupa ma miarę 45 stopni. Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa, wiedząc, że krawędź podstawy ma 12 cm.

Answer 1

Ze wzoru na wysokość w trójkącie równoboczny
12√3
h= ---------=6√3
2

Skoro kąt między wysokością ściany bocznej, a wysokością ostrosłupa ma miarę 45 stopni, to kąt ODS też ma 45 stopni, zatem jest to połowa trójkąta, więc h1 jest tak jakby przekątną. Ze wzoru na przekątną w kwadracie:
h1=√2*2√3=2√6

Pole całkowite to pole podstawy plus pole trzech ścian bocznych:

144√3
Pc= ---------------- +3*
4
12* 2√6
-------------=36√3+36√6=36(√3+√6)

Answer 2

Pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego trójkątnego liczy się jako :
pole podstawy (którą jest trójkąt równoboczny o boku "a" i wysokości "h1")
+3 razy pole ściany bocznej (którą są trójkąty równoramienne o podstawie "a" i wysokości h2) - oznaczenia takie jak na rys. w załączniku

1) Obliczmy pole podstawy (pole trójkąta równobocznego o boku a=12cm)
Pp=1/2*a*h1
h1 wyznaczymy ze wzoru ogólnego na wys. w trójkącie równobocznym
h1=a√3/2
podstawiamy za a=12
h1=12√3/2 = 6√3

Pp=1/2*12*6√3=36√3

2) Obliczmy pole ściany bocznej = 1/2*a*h2
Nie znamy h2, musimy go wyliczyć. Zobacz na rys. 2 w załączniku

r to jest promień okręgu wpisanego w podstawę i wynosi ona 1/3 wys. podstawy
r=1/3 h1
r=1/3*h1= 1/3*6√3 = 2√3
sin α = r/h2
sin 45°=r/h2
sin45°=√2/2
r=2√3
zatem wstawiamy do wzoru i mamy:
√2/2=2√3/h2
√2h2=2√3*2
h2=4√3:√2 po pozbyciu się pierwiastka z mianownika otrzymujemy:
h2=2√6

Pole ściany bocznej: Pb=1/2*a*h2=1/2*12*2√6=12√6

3)
Pole całego ostrosłupa
Pc=Pp+3*Pb
Pc=36√3+3*12√6=36√3+36√6=36(√3+√6)