Question

DAJĘ NAJ i DUŻO PKT!!

Od kwadratu dowolnej liczby dwucyfrowej n odejmujemy kwadrat liczby powstałej z przestawienia z przestawienia cyfr liczby n. Wykaż, że otrzymana liczba jest podzielna przez 99, a także przez sumę cyfr liczby n.

PROSZĘ O ZAPIS MATEMATYCZNY I KOMENTARZ SŁOWNY

Answer 1

x - cyfra jedności

y- cyfra dziesiątek

10y+x - liczba dwucyfrowa

10x+y  - liczba dwucyfrowa po przestawieniu cyfr

(10y+x)^2 - kwadrat liczby dwucyfrowej

(10y+x) ^2 - kwadrat liczby dwucyfrowej po przestawieniu cyfr

(10y+x)^2 - (10x+y)^2 - różnica kwadratu liczby dwucyfrowej i kwadratu liczby z przestawionymi cyframi

(10y+x)^2 - (10x+y)^2=100y^2+20xy+x^2-(100x^2+20xy+y^2)= [opuszczam nawias]= 100y^2+20xy+x^2-100x^2-20xy-y^2=[redukuję]=

100y^2+x^2-100x^2-y^2=[zamieniam kolejnośc, czyli stosuję przemiennośc]=

=100y^2 - 100x^2 + x^2 -y^2= [wyłączam czynnik przed nawias]=

=100(y^2 - x^2) + (x^2 - y^2) = 100(y^2 - x^2) -(y^2-x^2)=[znów wyłączam]=

=(100-1) (y^2-x^2) = 99(y^2-x^2)  skoro jeden czynnik jest równy 99 to cała liczba dzieli się przez 99

teraz będę wykazywa, że dzieli się przez sumę cyfr liczby dwucyfrowej, czyli przez x+y

99(y^2-x^2)=[korzystam ze wzoru skróconego mnożenia]=99(y-x)(y+x) -------tak więc dzieli się przez sumę x+y       :)