Question

D 3.260. Wykaż, że jeśli różne rozwiązania x1, x2 równania x2 - px + p + 8 = 0 speł-
niają warunek x2x2(x1 + x2) > x1 + x2 – 6, to p = (-0, 6) u (8, +00).​

Answer 1

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

x² - px + p + 8, a=x² b= -px c=p+8

Warunki: 1) x1, x2 różne rozwiązania ==> Δ>0

2) x1 • x2 • (x1 + x2) >= x1 + x2 -6

Wykresy są w załączniku poniżej ;) mam nadzieję, że są czytelne.

1) Δ>0

p² -4(1)(p+8) > 0

p² -4p -32 > 0

Δ= b² -4ac = 4² +4(1)(-32) = 16 +128 = 144

Pierwiastek z Δ, czyli ze 144 = 12

p1 = -b + Δ/2a = 4 -12 /2 = -4

p2 = 4 +12 /2 = 8 ==> ramiona na wykresie idą do góry, a p∈(-∞, -4)U(8, +∞).

2) x1 • x2 • (x1 + x2) >= x1 + x2 -6

c/a • (-b/a) >= -b/a -6 (a=1)

-bc >= -b -6

p(p +8) >= p -6

p² +7p +6 >= 0

Δ = 7² - 4(1)(6) = 49 - 24 = 25

Pierwiastek z Δ = 5.

p1 = -7 -5 /2 = -6

p2 = -7 +5 /2 = -1 ==> ramiona na wykresie idą do góry, a p∈(-∞, -6]U[-1, +∞).

Wrzucając oba wykresy w jeden, wypisujemy ich część wspólną, tj. p∈(-∞, -6]U(8, +∞)

Wyjaśnienia symboli:

[ ] "ostre nawiasy"

==> "z tego wynika..."

>= "większe lub równe"

<= "mniejsze lub równe"