Czy potrafi pomóc mi ktoś z tym zadaniem?.... Question from @Karolina01295

loitzl9006 $\ln x\le\sqrt x\\ \ln x-\sqrt x\le0$
czyli mamy udowodnić taką nierówność:
$\ln x-\sqrt x\le0$

żeby to zrobić - badamy taką funkcję
$f(x)=\ln x-\sqrt x$
Musimy udowodnić, że dla wszystkich x>0 ta funkcja przyjmuje wartości ujemne

W tym celu badamy ekstrema funkcji f(x) -czyli standardowo pochodna:

$f'(x)=(\ln x-\sqrt x)'=\frac1x-\frac1{2\sqrt x}$

teraz sprawdzam kiedy ta funkcja jest rosnąca - czyli nierówność f'(x)>0:

$\frac1x-\frac1{2\sqrt x}>0$

rozwiązujemy nierówność

$\frac{2\sqrt x}{x\cdot2\sqrt x}-\frac x{x\cdot 2\sqrt x}\ \textgreater \ 0\\ \frac{2\sqrt x-x}{x\cdot 2\sqrt x}\ \textgreater \ 0$

teraz mnożymy obustronnie tę nierówność przez (zawsze dodatni) kwadrat mianownika - dlatego znak nierówności, którym jest znak ">" nie ulegnie zmianie (przy mnożeniu nierówności przez dodatnią znak bez zmian):

$\frac{2\sqrt x-x}{x\cdot2\sqrt x}\ \textgreater \ 0\ \ \ \ \ \ |\cdot(x\cdot2\sqrt x)^2\\ (2\sqrt x-x)(x\cdot2\sqrt x)\ \textgreater \ 0$

przyrównujemy nawiasy do zera:

$2\sqrt x-x=0\ \ \ \ \ lub\ \ \ \ \ x\cdot2\sqrt x=0$

rozwiązujemy oba równania

pierwsze równanie:
$2\sqrt x-x=0\\ D:x\ge0\\ 2\sqrt x=x\ \ \ \ \ |()^2\\ (2\sqrt x)^2=x^2\\ 4x=x^2\\ 4x-x^2=0\\ x(4-x)=0\\ x=0 \ \ \ \ \ \ lub\ \ \ \ \ 4-x=0\\ x=0\ \ \ \ lub \ \ \ \ 4=x$

drugie równanie:
$x\cdot2\sqrt x=0\ \ \ \ |:2\\ x\cdot\sqrt x=0\\ x=0 \ \ \ \ \ \ lub\ \ \ \ \ \sqrt x=0 \ \ \ \ | ()^2\\ x=0 \ \ \ \ \ \ \ lub\ \ \ \ x=0$

mamy z obu równań dwa różne iksy: x=0 oraz x=4. tak naprawdę jesteśmy w przedziale x>0 więc tylko x=4 nas interesuje. I co ważne - JEDEN raz się pojawiło to x=4 (gdyby się pojawiło kilka razy tak jak x=0 to sprawa się zmienia)
Będziemy rysować wykres nierówności
$(2\sqrt x-x)(x\cdot2\sqrt x)\ \textgreater \ 0$

wyszło nam następujące miejsce zerowe pochodnej:
x=4 (JEDNOKROTNE) bo jeden raz wyszło

teraz jest taka zasada - bierzesz x większy od największego miejsca zerowego pochodnej
największe miejsce zerowe to x=4 (w sumie też to jest jedyne miejsce zerowe)

bierzemy zatem jakiś x większy od 4 będziemy go wstawiać do naszej nierówności:
popatrzmy się na naszą funkcję w nierówności
$(2\sqrt x-x)(x\cdot2\sqrt x$

wygodnie wziąć x=9 bo są pierwiastki

$(2\sqrt9-9)(9\cdot2\sqrt9)$

liczymy i sprawdzamy czy wyjdzie na plusie czy minusie

$(2\cdot3-9)(9\cdot2\cdot3)=(6-9)\cdot54=-3\cdot54\ \textless \ 0$

celowo nie wyliczałem do końca - ale widać ze na minusie wyjdzie

narysuj sobie teraz oś x
zaznacz sobie na niej punkty x=4 i x=9

ponieważ dla x=9 wyszlo na minusie to zaznaczasz kropkę na wysokości x=9 pod osią x
drugą kropkę zaznaczasz na osi x w punkcie x=4 (bo to miejsce zerowe pochodnej)

łączysz kropki. wykres powinien się zawierać pod osią x

x=4 to JEDNOKROTNE miejsce zerowe - więc wykres na lewo od x=4 przebije się na górną stronę osi x
gdyby x=4 było DWUKROTNE to wtedy wykres w x=4 by się odbił od osi x i na lewo od x=4 wykres by był dalej po dolnej stronie osi x

Co właściwie wynika z tego wykresu? Że pochodna dla x=4 wynosi 0, dla x na lewo od x=4 (czyli dla x=3.99) jest dodatnia (bo wykres jest nad osią x) a dla x=4.01 jest już pochodna ujemna bo wykres pod osią x

czyli dla x=3.99 pochodna sobie rośnie, dla x=4 zatrzymuje się i już nie rośnie, a dla x=4.01 już sobie spada...
czyli w x=4 funkcja f(x) przyjmuje wartość maksymalną.

ostatnia linijka jest b.istotna
udowodniliśmy, że f(4), czyli (odwołując się do $f(x)=\ln x-\sqrt x$ ) jest największą wartością funkcji f(x)
liczymy ją
$f(4)=\ln4-\sqrt4\approx-0.61$
Jeśli maksymalna wartość funkcji f(x) wyszła ujemna, to pozostałe wartości (dla każdego x>0) będzie tym bardziej ujemna
czyli nierówność
$\ln x-\sqrt x\le0$ jest prawdziwa
czyli nierówność $\ln x\le\sqrt x$ też jest prawdziwa
*****
pytaj śmiało jeśli czegoś nie rozumiesz

0 votes Thanks 1

krystianadr $lnx \leq \sqrt{x}$
$\sqrt{x} -lnx \geq 0$
Liczę pochodną i sprowadzam do wspólnego mianownika po czym przyrównuje do 0 żeby wyznaczyć wszytskie punkty stacjonarne:
$\frac{ \sqrt{x}-2}{2x}=0$
$\sqrt{x} -2=0$
A z tego wynika, że tylko x=4 jest punktem stacjonarnym.
Zauważmy, że dla 0<x<4 $\frac{ \sqrt{x}-2}{2x} \leq 0$ a dla x>4 $\frac{ \sqrt{x}-2}{2x} \geq 0$ czyli dla x=4 funkcja $f(x)= \sqrt{x} -lnx$ przyjmuje najmniejszą wartość. A więc $\sqrt{x} -lnx \geq \sqrt{4} -ln4\ \textgreater \ 0$ a więc $\sqrt{x} \geq lnx$ choć tak naprawdę dla żadnego x rzeczywistego dodatniego nie istnieje rozwiązanie $\sqrt{x} =lnx$ .

0 votes Thanks 0

Obliczyć całkę krok po kroku: x(y-x)e^(-y) dx

Gdzie mają zastosowania macierze?

Obliczyć całkę krok po kroku całka x^2/(x+1) dx proszę o pomoc

Rozwiąż równanie: y^4+4=0

Równania wielomianowe n-tego stopnia. Jakie są (WSZYSTKIE) sposoby rozwiązywania? Wiem, że jest wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, wzory skróconego mnożenia.. co jeszcze?

Rozwiąż nierówność : |x-1|/1+|x-1|<3

Rozwiąż nierówność : x^3<4

Czy macierz jest rozkladalna? Macierz jest 3x3.. Od gory wiersze wyglądają tak: 011 100 100

Pomożecie! Potrzebuję na już, proszę!

Wyznacz przedział zbieżności: ∑n!x^(2n-1)

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social