Question

Czy istnieje trojkat ktorego srodkowe maja dlugosci 10, 15, 20

Answer 1

Pokażemy, że jeśli da się zbudować trójkąt o danych bokach, to również się da zbudować trójkąt o środkowych tych samych długości. By to pokazać wskażemy konstrukcje i udowodnimy jej poprawność.
Rozważmy trójkąt PQR o bokach równych trzecich części zadanych boków, u mnie na rysunku oznaczmy przez d/3 długość odcinka PQ, oraz przez x długość odcinka PR. Przedłużamy odcinek PQ z obu stron o długość d/3 i oznaczamy nowo powstałe końce jako A i S. Oznaczamy na prostej AR punkt C taki, że AR = CR. (R - środek odcinka AC), a następnie punkt C taki, że BS = CS (S - środek BC), wówczas w trójkącie ABC środkowe są zadanej długości.
Od razu udowodnijmy poprawność zadanej konstrukcji.
Prowadzimy prostą CQ. przecina ona bok AB w punkcie T.
Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia talesa do prostych PR i CQ i kąta CAS stwierdzamy, że są one równoległe istotnie: wprost z konstrukcji AR/RC = AQ/PQ = 1
Co więcej możemy stwierdzić, że AR/ RP = AC/CQ stąd wstawiając dane przy oznaczeniach mamy

czyli CQ = 2x
Poprowadźmy odcinek RS. Jest to odcinek łączący środki boków w trójkącie ABC. Zatem jest równy połowie boku AB i jest do niego równoległy.
Oznaczmy przez C' punkt przecięcia RS z CQ. Udowodniliśmy równoległość C'Q i RP zatem skorzystajmy z twierdzenia Talesa tym razem dla kąta RSP.
Znowu z konstrukcji mamy,że Q jest środkiem odcinka PS czyli z twierdzenia Talesa uzyskamy, że C' jest środkiem odcinka RS.
Zatem CC' jest środkową w trójkącie CRS. Przekształćmy przez jednokładność trójkąt CRS o skali 2i środku w C. Nie trudno zauważyć, że po przekształceniu przechodzi on na trójkąt ABC. Co więcej jednokładność nie zmienia prostych przechodzących przez środek jednokładności, co oznacza, że CC' przechodzi na CT oraz CT wówczas jest środkową trójkąta ABC.
Zauważmy teraz, że środkowe przecinają się w jednym punkcie Q.
A to oznacza, że jeżeli poprowadzimy środkową z B to również przechodzi ona przez Q, co oznacza, że zawiera odcinek QR.
Dalej jeszcze chcieliśmy pokazać, że te środkowe są dobrej długości. Środkowa AS jest 3 razy większa niż PQ z konstrukcji.
Środkowe przecinają się w stosunku 2:1, czyli CQ:QT = 2, oraz wcześniej pokazywaliśmy, że CQ = 2PR, co daje łącznie, że QT = PR i razem CT = 3PR
Oraz BQ/RQ = 2 czyli BQ = 2RQ i BR = 3RQ. Co kończy dowód, że środkowe w trójkącie ABC są zadanej przez nas długości.
Teraz już wystarczy wysunąć wniosek dla konkretnych danych. Skoro da się zbudować trójkąt z odcinków 10, 15 i 20 to da się również zbudować trójkąt o takich środkowych.