Czy istnieje jakiś "normalny" sposób na policzenie przybliżenia dziesiętnego pierwiastka? To znaczy,.... Question from @Yutaka

January 2019 1 53 Report

Czy istnieje jakiś "normalny" sposób na policzenie przybliżenia dziesiętnego pierwiastka? To znaczy, jeśli chcę sprawdzić, na przykład, przybliżenie dziesiętne $\sqrt{5}$ . Z kalkulatora wiem, że to 2,23606797749979, a bez kalkulatora? :D

Paawełek Istnieje wzór rekurencyjny pozwalający przybliżyć KAŻDĄ wartość pierwiastka kwadratowego. Aby przybliżyć dowolny $\sqrt{a}$ szukamy ze wzoru kolejnych przybliżeń. Wzór ma postać:

$x_{k+1} = \dfrac{1}{2} \left( x_k + \dfrac{a}{x_k}\right)$

Jaki jest algorytm działania? Pod xk wystarczy podstawić DOWOLNĄ liczbę całkowitą dodatnią, możesz sobie wybrać jakąś. Ja polecałbym wybrać na początek liczbę 2, ponieważ 2 < pierwiastek z 5 < 3. Łatwo to pokazać. No ale nic się nie stanie jak wybierzesz inną. Mamy xk=2 oraz a=5 (bo pierwiastek z 5). Więc tak będzie wyglądało pierwsze przybliżenie x1:

$x_1= \dfrac{1}{2} \cdot \left( 2+\dfrac{5}{2}\right)= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{9}{2} = \dfrac{9}{4}=2,25$

Algorytm powtarzasz. Z tym że pod "xk" podstawiasz otrzymany wynik, czyli 2,25:

$x_2= \dfrac{1}{2} \cdot \left(2,25 + \dfrac{5}{2,25}\right)= \dfrac{1}{2} \cdot 4,472 = 2,236$

Obliczyłem na kalkulatorze w przybliżeniu. Teraz obliczmy x3 podstawiając 2,236 pod xk:

$x_3 = \dfrac{1}{2} \cdot \left( 2,236 + \dfrac{5}{2,236}\right)=2,236067978533...$

Zauważ, że już to przybliżenie zgadza się aż do ósmego miejsca po przecinku.... Oczywiście jeśli chcesz JESZCZE DOKŁADNIEJ (tak dokładnie jak masz w zadaniu), dokonaj ponownego przybliżenia