¿Cuál es el dígito de las unidades de (1+1²)+(2+2²)+(3+3)+ ... +(2000+2000²)?.... Question from @asdeasde

Eduen $\begin{matrix}
\displaystyle\sum_{i=1}^{2000}(i+i^2) &=& 
\displaystyle\sum_{i=1}^{2000}(i) + 
\displaystyle\sum_{i=1}^{2000}(i^2) \\ \\
&=& \dfrac{2000(2001)}{2} + \dfrac{2000(2001)(2(2000)+1)}{6} \\ \\
&=& \dfrac{2000(2001)(4004)}{6} \\ \\
&=& 2670668000
 \end{matrix}$

Respuesta: 2670668000

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asdeasde Te mandare un link para que mires el problema, es el ultimo de la paginahttp://ichi.fismat.umich.mx/recursos/prob15/sol26a50.html#50

asdeasde Espera!! En la respuesta dice que llega hasta el 2001 pero el problema dice que llega hasta el 2000

Eduen me temo que esa solución está mala.

asdeasde Me das una explicacion de hacerlo a mano y no con una calculadora

Eduen Mira, debes utilizar la formula [n(n+1)(n+2)]/6 ; luego se sabe n=2000 = 2x10^3; eso significa que los últimos 3 digitos deberán ser 0;

Eduen Perdón es [n(n+1)(n+2)/3] en tu caso; te recomiendo que leas sobre sumas lineales y cuadraticas para puedas determinar la suma del término general;

Jeizon1L para 2001, al dividirlo por 5 ( es decir: 2001/5 ) nos da como residuo 1, y de acuerdo con la tabla que se ha deducido en mi respuesta, la última cifra deberá ser 2. Será cuestión de comprobar. Veamos, segun ésta respuesta la suma hasta n=2000, nos da : 26706668000 , bueno, solo nos interesa que termina en 0, y si a esto le añadimos la ultima cifra del resultado de 2001+2001² que será: 2 evidemente (trabaja con las ultimas cifras) , obtendremos que la ultima cifra efectivamente será 2.Saludos

Jeizon1L *evidemente = evidentemente. Error de tipeo, ops! :)

Eduen Entonces yo equivoqué para mi la última cifra es la de unidades, osea que aquí "ultimo" se refiere al digito de mayor magnitud ? interesante dato gracias Jeizon

Jeizon1L Al contrario, tu respuesta es correcta, la última cifra o mejor dicho el dígito de las unidades es 0. Lo que hice fue otro ejemplo, cuando llega hasta 2001+2001².

Jeizon1L Vaya, he tenido que salir y veo que ya han resuelto tu ejercicio del modo que pensaba hacerlo... en fin,veamos otro modo de resolverlo, por inducción matemática:

los números son de la forma: n+n²

así:

1+1² = 1 , terminan en 2 ------------ la suma termina en 2
2+2² = 6 , termina en 6    ----------- 2+ 6 = 8 , termina en 8
3+3² = 12, termina en 2 ------------ 8+ 2 = 10 , termina en 0
4+4² = 20, termina en 0 ------------ 10+ 0 = 10 , termina en 0
5+5² = 30, termina en 0 ----------   10 +0 = 10 , termina en 0
6+6² = 42, termina en 2 ---------- 10+2 = 12 , termina en 2
7+7²= 56, termina en 6    -------- 12+6 = 18 , termina en 8
8+8²= 72 , termina en 2 ----------- 18 + 2 = 20, termina en 0
9+9²= 90, termina en 0 ------------ 20 + 0 = 20 , termina en 0
10+10²=110, termina en 0 --------- 20+ 0 = 20 , termina en 0
11+11²=132, termina en 2 ---------- 20+2=22 , termina en 2
12+12²=156, termina en 6 ---------- 22+6=28 , termina en 8
13+13²=182, termina en 2---------- 28+ 2= 30 , termina en 0
14+14²=210, termina en 0 ---------- 30+0= 30 , termina en 0
15+15²=240, termina en 0 --------- 30 + 0 = 30, termina en 0
16+16²=272, termina en 2 ---------- 30+2= 32 , termina en 2

y así podria continuar buen rato, pero ¿lo has notado?

la última cifra de la suma de los términos de la serie dada por n+n², termina bajo la siguiente secuencia o patrón:

2,8,0,0,0

Ahora, en general, para determinar en qué cifra terminará la suma de los terminos para n = k debemos seguir los siguientes pasos:

k/5 ; cociente = c , residuo = r

para r = 1 → la ultima cifra será: 2
   r = 2 → la última cifra será: 8
   r = 3 → la ultima cifra será: 0
   r = 4 → la ultima cifra será: 0
   r = 0 → la ultima cifra será: 0

Ahora bien, teniendo claro esto, resolvamos el ejercicio para n=2000

Solucion:

2000/5 : cociente = 400 , residuo = 0

de acuerdo con nuestra tablita:

para r = 1 → la ultima cifra será: 2
   r = 2 → la última cifra será: 8
   r = 3 → la ultima cifra será: 0
   r = 4 → la ultima cifra será: 0
   r = 0 → la ultima cifra será: 0

como el residuo es 0, la última cifra (dígito de las unidades) será 0

Comentame si te ha gustado mi solución.

Saludos!!

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asdeasde Me acaba de explotar la cabeza :'( No es cierto gracias por tu ayuda, gracias por el proceso a mano :D

Sea f una función de números tal que f(2)=3, y f(a+b)=f(a)+f(b)+ab, para toda a y b. Entonces, f(11) es igual a:

Que se valora, necesidades y valores,sobre valores economicos, esteticos, culturales y eticos

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