Question

Proszę o rozwiązanie 4 przykładów krok po kroku(jak przysłowiowej krowie na miedzy)

a)cos2x/cosx=1

b)cos^2x-sinx=1

c)2sinx=sqrt(4+sinx)

d)tg33*tg60*tg57=ctg57*tg60=tg60=sqrt(3)

Answer 1

a)

cos 2x / cos x = 1

cos 2x =  cos x

2 cos^2  x - 1  = cos x

2 cos ^2 x - cos x - 1 = 0

y = cos x

----------

2 y^2 - y - 1 = 0

delta = 1 - 4*2*(-1) = 1 + 8 = 9

y1 = [ 1 - 3]/4 = 2/4 = 1/2

y2 = [ 1 + 3]/4 = 4/4 = 1

czyli

cos x = 1/2   lub  cos x = 1

x = 60 st + k*360 st

lub

x = 300 st + k* 360 st

lub

x = k* 360 st, gdzie  k  - liczba całkowita

======================

W mierze łukowej:

x = pi/3 + k*2 pi

lub

x = (5/6) pi + k *2 pi

lub

x = k * 2 pi , gdzie  k - liczba całkowita

========================================

b)

cos ^2 x  - sin x = 1

cos ^2 x - sin x = sin ^2 x  + cos^ 2 x

- sin x = sin ^2 x

sin ^2 x + sin x = 0

sin x *( sin x + 1 ) = 0

sin x = 0  lub  sin x = - 1

x = 0 st + k*180 st

lub

x = 270 st + k * 360 st, gdzie  k  - liczba całkowita

============================================

W mierze łukowej

x = k* pi

lub

x = (3/2)*pi  + k* 2 pi , gdzie  k - liczba całkowita

============================================

c)

2 sin x = sqrt ( 4 + sin x)

4 + sin x > 0

Podnosimy obie strony równania do kwadratu

4 sin ^2 x = 4 + sin x

4 sin ^2 x - sin x - 4 = 0

sin x = y

4 y^2 - y - 4 = 0

delta = 1 - 4*4*(-4) = 1 + 64 = 65

y = [ 1 - sqrt(65)]/8  lub  y = [ 1 + sqrt (65)]/8 > 1  - odpada

zatem

sin x  = [ 1 - sqrt (65)]/8

x = arcsin [ 1 - sqrt (65)]/8  + k * 2 pi, k - liczba całkowita

======================================================

 

d)

tg 33 st * tg 60 st * tg 57 st =tg( 90 st - 57 st) * tg 60 st * tg 57 st =

= ctg 57 st * tg 57 st * tg 60 st = 1* tg 60 st = tg 60 st = p(3)

p(3) <-- pierwiastek kwadratowy z 3

==========================================================