CIĄGIOkreśl ile wyrazów ciągów jesta)dodatnichb)ujemnychc)niedodatnichd)nieujemnych Muszę policzyć k.... Question from @Aduskova

Aduskova @Aduskova

October 2018 1 26 Report

CIĄGI

Określ ile wyrazów ciągów jest

a)dodatnich

b)ujemnych

c)niedodatnich

d)nieujemnych

Muszę policzyć każdy ciąg nierównością czyli

a) >0

b)<0

c)> badz rowne od 0

d)<badz rowne zeru

+ rysunki czyli czy ramiona paraboli sa w dol czy w gore.

1.an=n²-4n+3

2.an=n²+4n-3

3.an=(n-6)(n+1)

4.an=-(n-12)(n-2)

Roma

$a_n = n^2 - 4n + 3 \\\ Obliczamy \ miejsca \ zerowe: \\\ n^2 - 4n + 3 = 0 \\\ \Delta = (- 4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \\\ \sqrt{\Delta} = \sqrt{4} = 2 \\\ n_1 = \frac{4 - 2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1 \\\ n_2 = \frac{4 + 2}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

Zaznaczamy miejsca zerowe na osi i rysujemy parabolę (patrz załącznik). Z wykresu odczytujemy rozwiązania poszczególnych nierówności, pamiętając, że n ∈ N+.

Ile wyrazów ciągów jest:

a) dodatnich $a_n > 0$

$n^2 - 4n + 3 > 0 \\\ n \in (- \infty; \ 1) \cup (3; \ + \infty)$

Ponieważ n ∈ N+, zatem:

$n > 3$

Na specjalne życzenie zadającej podaję wartości niektórych takich wyrazów :)

$a_4 = 4^2 - 4 \cdot 4 + 3 = 16 - 16+ 3 = 3 \\\ a_5 = 5^2 - 4 \cdot 5 + 3 = 25 - 20 + 3 = 8 \\\itd.$

Odp. Wyrazy dodatnie ciągu (an) to wyrazy o numerach większych od 3, zatem w ciągu (an) jest nieskończeniewiele wyrazów dodatanich.

b) ujemnych $a_n < 0$

$n^2 - 4n + 3 < 0 \\\ n \in (1; \ 3)$

Ponieważ n ∈ N+, zatem:

$n = 2$

Na specjalne życzenie zadającej podaję wartość tego wyrazu :)

$a_2 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = - 1$

Odp. Wyrazem ujemym w ciągu (an) jest wyraz a₂ = - 1, zatem w ciągu (an) jest 1 wyraz ujemny.

c) niedodatnich $a_n \leq 0$

$n^2 - 4n + 3 \leq 0 \\\ n \in \langle 1; \ 3 \rangle$

Ponieważ n ∈ N+, zatem:

$n \in \{1; 2; 3\}$

Na specjalne życzenie zadającej podaję wartości tych wyrazów :)

$a_1 =1^2 - 4 \cdot 1 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0 \\\ a_2 =2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \\\ a_3 =3^2 - 4 \cdot 3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$

Odp. Wyrazami niedodatnimi ciągu (an) są wyrazy a₁ = 0; a₂ = - 1 i a₃ = 0, zatem w ciagu (an) są 3 wyraz niedodatnie.

d) nieujemnych $a_n \geq 0$

$n^2 - 4n + 3 \geq 0 \\\ n \in (- \infty; \ 1\rangle \cup \langle3; \ + \infty)$

Ponieważ n ∈ N+, zatem:

$n = 1 \ i \ n \geq 3$

Na specjalne życzenie zadającej podaję wartości niektórych takich wyrazów :)

$a_1 =1^2 - 4 \cdot 1 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0 \\\ a_3 = 3^2 - 4 \cdot 3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0 \\\ a_4 = 4^2 - 4 \cdot 4 + 3 = 16 - 16+ 3 = 3 \\\ a_5 = 5^2 - 4 \cdot 5 + 3 = 25 - 20 + 3 = 8 \\\itd.$

Odp. Wyrazy nieujemnie ciągu (an) to pierwszy i trzeci wyraz ciągu oraz wyrazy o numerach większych od 3, zatem w ciągu (an) jest nieskończeniewiele wyrazów nieujemnych.

$a_n = n^2 + 4n - 3 \\\ \Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 16 + 12 = 28 \\\ \sqrt{\Delta} = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7} =\\\ n_1 = \frac{-4 - 2\sqrt{7}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \cdot (-2 -\sqrt{7})}{2} = -2 -\sqrt{7} \approx -4,65 \\\ n_2 = \frac{-4 + 2\sqrt{7}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \cdot (-2 +\sqrt{7})}{2} = \sqrt{7}-2 \approx 0,65$

Zaznaczamy miejsca zerowe na osi i rysujemy parabolę (patrz załącznik). Z wykresu odczytujemy rozwiązania poszczególnych nierówności, pamiętając, że n ∈ N+.

Ile wyrazów ciągów jest:

a) dodatnich $a_n > 0$

$n^2 + 4n - 3 > 0 \\\ n \in (- \infty; \ -2 -\sqrt{7}) \cup (\sqrt{7}-2 ; \ + \infty)$

Ponieważ n ∈ N+ oraz √7 - 2 ≈ 0,65 zatem:

$n \geq 1$

Na specjalne życzenie zadającej podaję wartości niektórych takich wyrazów :)

$a_1 =1^2 + 4 \cdot 1 - 3 = 1 + 4 - 3 = 5 - 3 = 2 \\\ a_2 = 2^2 + 4 \cdot 2 - 3 = 4 + 8 - 3 = 9\\\ itd.$

Odp. Wszystkie wyrazy ciągu (an) są dodatnie, zatem w ciągu (an) jest nieskończeniewiele wyrazów dodatnich.

b) ujemnych $a_n < 0$

$n^2 + 4n - 3 < 0 \\\ n \in (-2 -\sqrt{7}; \ \sqrt{7}-2)$

Ponieważ n ∈ N+ oraz √7 - 2 ≈ 0,65 zatem:

$n \in \emptyset$

Odp. Żaden wyraz ciągu (an) nie jest ujemny, zatem w ciągu (an) nie ma wyrazów ujemnych.

c) niedodatnich $a_n \leq 0$

$n^2 + 4n - 3 \leq 0 \\\ n \in \langle -2 -\sqrt{7}; \ \sqrt{7}-2 \rangle$

Ponieważ n ∈ N+ oraz √7 - 2 ≈ 0,65 zatem:

$n \in \emptyset$

Odp. Żaden wyraz ciągu (an) nie jest niedodatni, zatem w ciągu (an) nie ma wyrazów niedodatnich.

d) nieujemnych $a_n \geq 0$

$n^2 + 4n - 3 \geq 0 \\\ n \in (- \infty; \ -2 -\sqrt{7} \rangle \cup \langle \sqrt{7}-2; \ + \infty)$

Ponieważ n ∈ N+ oraz √7 - 2 ≈ 0,65 zatem:

$n \geq 1$

Na specjalne życzenie zadającej podaję wartości niektórych takich wyrazów :)

$a_1 =1^2 + 4 \cdot 1 - 3 = 1 + 4 - 3 = 5 - 3 = 2 \\\ a_2 = 2^2 + 4 \cdot 2 - 3 = 4 + 8 - 3 = 9\\\ itd.$

Odp. Wszystkie wyrazy ciągu (an) są nieujemnie, zatem w ciągu (an) jest nieskończeniewiele wyrazównieujemnych.

$(n - 6)(n + 1)\\\ Wyznaczamy \ miejsca \ zerowe: \\\ (n - 6)(n + 1) = 0 \\\ n - 6 = 0 \ lub \ n + 1 = 0 \\\ \\\ n- 6 = 0 \\\ n = 6 \\\ \\\ n + 1 = 0 \\\ n = - 1 \\\ \\\ n_1 = - 1; \ n_2 = 6$

Zaznaczamy miejsca zerowe na osi i rysujemy parabolę (patrz załącznik). Z wykresu odczytujemy rozwiązania poszczególnych nierówności, pamiętając, że n ∈ N+.

Ile wyrazów ciągów jest:

a) dodatnich $a_n > 0$

$(n - 6)(n + 1) > 0 \\\ n \in (- \infty; \ -1) \cup (6; \ + \infty)$

Ponieważ n ∈ N+, zatem:

$n > 6$

Na specjalne życzenie zadającej podaję wartości niektórych takich wyrazów :)

$a_7 =(7 - 6)(7 + 1) = 1 \cdot 8 = 8 \\\ a_8 =(8 - 6)(8 + 1) = 2 \cdot 9 = 18\\\ itd.$

Odp. Wyrazy dodatnie ciągu (an) to wyrazy o numerach większych od 6, zatem w ciągu (an) jest nieskończeniewiele wyrazów dodatanich.

b) ujemnych $a_n < 0$

$(n - 6)(n + 1) < 0 \\\ n \in (-1; \ 6)$

Ponieważ n ∈ N+, zatem:

$n = \{1; \ 2; \ 3; \ 4; \ 5 \}$

Na specjalne życzenie zadającej podaję wartości tych wyrazów :)

$a_1 =(1 - 6)(1 + 1) = - 5 \cdot 2 = -10 \\\ a_2 =(2 - 6)(2 + 1) = - 2 \cdot 3 = - 6 \\\ a_3 =(3 - 6)(3 + 1) = - 3 \cdot 4 = -12 \\\ a_4 =(4 - 6)(4 + 1) = - 2 \cdot 5 = - 10 \\\ a_5 =(5 - 6)(5 + 1) = - 1 \cdot 6 = -6$

Odp. Wyrazami ujemnymi ciągu (an) są wyrazy a₁ = -10; a₂ = - 2; a₃ = - 3; a₄ = -2 i a₅ = -6, zatem w ciągu (an) jest 5 wyrazów ujemnych.

c) niedodatnich $a_n \leq 0$

$(n - 6)(n + 1) \leq 0 \\\ n \in \langle -1; \ 6 \rangle$

Ponieważ n ∈ N+, zatem:

$n = \{1; \ 2; \ 3; \ 4; \ 5; \ 6 \}$

Na specjalne życzenie zadającej podaję wartości tych wyrazów :)

$a_1 =(1 - 6)(1 + 1) = - 5 \cdot 2 = -10 \\\ a_2 =(2 - 6)(2 + 1) = - 2 \cdot 3 = - 6 \\\ a_3 =(3 - 6)(3 + 1) = - 3 \cdot 4 = -12 \\\ a_4 =(4 - 6)(4 + 1) = - 2 \cdot 5 = - 10 \\\ a_5 =(5 - 6)(5 + 1) = - 1 \cdot 6 = -6 \\\ a_6 =(6 - 6)(6 + 1) = 0 \cdot 7 = 0$

Odp. Wyrazami niedodatnimi ciągu (an) są wyrazy a₁ = -10; a₂ = - 2; a₃ = - 3; a₄ = -2; a₅ = -6 i a₆ = 0, zatem w ciągu (an) jest 6 wyrazów niedodatnich.

d) nieujemnych $a_n \geq 0$

$(n - 6)(n + 1) \geq 0 \\\ n \in (- \infty; \ -1\rangle \cup \langle 6; \ + \infty)$

Ponieważ n ∈ N+, zatem:

$n\geq 6$

Na specjalne życzenie zadającej podaję wartości niektórych takich wyrazów :)

$a_6 =(6 - 6)(6 + 1) = 0 \cdot 7 = 0 \\\ a_7 =(7 - 6)(7 + 1) = 1 \cdot 8 = 8 \\\ a_8 =(8 - 6)(8 + 1) = 2 \cdot 9 = 18\\\ itd.$

Odp. Wyrazy nieujemnie ciągu (an) to szósty wyraz ciągu oraz wyrazy o numerach większych od 6, zatem w ciągu (an) jest nieskończeniewiele wyrazów nieujemnych.

$a_n =-(n - 12)(n - 2) \\\ Wyznaczamy \ miejsca \ zerowe: \\\ -(n - 12)(n - 2) = 0 \ / \cdot (- 1)\\ (n - 12)(n - 2) = 0 \\\ n - 12 = 0 \ lub \ n - 2 = 0 \\\ \\\ n- 12 = 0 \\\ n = 12 \\\ \\\ n - 2 = 0 \\\ n = 2 \\\ \\\ n_1 = 2; \ n_2 = 12$

Zaznaczamy miejsca zerowe na osi i rysujemy parabolę (patrz załącznik). Z wykresu odczytujemy rozwiązania poszczególnych nierówności, pamiętając, że n ∈ N+.

Ile wyrazów ciągów jest:

a) dodatnich $a_n > 0$

$-(n - 12)(n - 2) > 0 \\\ n \in (2; \ 12)$

Ponieważ n ∈ N+, zatem:

$n \in \{3; \ 4; \ 5; \ 6; \ 7; \ 8; \ 9; \ 10; \ 11 \}$

Na specjalne życzenie zadającej podaję wartości tych wyrazów :)

$a_3 =-(3- 12)(3 - 2) = (-3 + 12) \cdot 1= 9 \cdot 1 = 9 \\\ a_4 =-(4 - 12)(4 - 2) = (-4 + 12)\cdot 2= 8 \cdot 2 = 16 \\\ a_5 =-(5 - 12)(5 - 2) = (-5 + 12)\cdot 3= 7 \cdot 3 = 21 \\\ a_6 =-(6 - 12)(6 - 2) = (-6 + 12)\cdot 4= 6 \cdot 4 = 24$

$a_7 =-(7 - 12)(7 - 2) =(-7 + 12) \cdot 5 = 5 \cdot 5 = 25 \\\ a_8 =-(8 - 12)(8 - 2) =(-8 + 12)\cdot 6= 4 \cdot 6 = 24 \\\ a_9 =-(9 - 12)(9 - 2) =(-9 + 12)\cdot 7=3 \cdot 7 = 21 \\\ a_{10} =-(10 - 12)(10 - 2) =(-10 + 12) \cdot 8=2 \cdot 8 = 16 \\\ a_{11} =-(11 - 12)(11 - 2) =(-11 + 12) \cdot 9= 1 \cdot 9 = 9$

Odp. Wyrazami dodatnimi ciągu (an) są wyrazy a₃ = 9; a₄ = 16; a₅ = 21; a₆ = 24; a₇ = 25; a₈ = 24 ; a₉ = 21; a₁₀ = 16 i a₁₁ = 9, zatem w ciągu (an) jest 9 wyrazów dodatnich.

b) ujemnych $a_n < 0$

$-(n - 12)(n - 2) < 0 \\\ n \in (- \infty; \ 2) \cup (12; \ + \infty)$

Ponieważ n ∈ N+, zatem:

$n = 1 \ i \ n > 12$

Na specjalne życzenie zadającej podaję wartości niektórych takich wyrazów :)

$a_1 =-(1- 12)(1 - 2) = (-1 + 12) \cdot (-1)= 11 \cdot (- 1) = -11 \\\ a_{13} =-(13 - 12)(13 - 2) = (-13 + 12)\cdot 11= -1 \cdot 11 = -11 \\\ a_{14} =-(14 - 12)(14 - 2) = (-14 + 12)\cdot 12= -2 \cdot 12 = - 24\\\ itd.$

Odp. Wyrazy ujemnie ciągu (an) to pierwszy wyraz ciągu oraz wyrazy o numerach większych od 12, zatem w ciągu (an) jest nieskończeniewiele wyrazów ujemnych.

c) niedodatnich $a_n \leq 0$

$-(n - 12)(n - 2) \leq 0 \\\ n \in (- \infty; \ 2\rangle \cup \langle 12; \ + \infty)$

Ponieważ n ∈ N+, zatem:

$n = \{1; \ 2 \} \ i \ n\geq 12$

Na specjalne życzenie zadającej podaję wartości niektórych takich wyrazów :)

$a_1 =-(1- 12)(1 - 2) = (-1 + 12) \cdot (-1)= 11 \cdot (- 1) = -11\\\ a_2 =-(2- 12)(2 - 2) = (-2 + 12) \cdot 0= 10 \cdot 0 = 0 \\\ a_{12} =-(12 - 12)(12 - 2) =( - 12+12) \cdot 10= 0 \cdot 10 =0 \\\ a_{13} =-(13 - 12)(13 - 2) = (-13 + 12)\cdot 11= -1 \cdot 11 = -11 \\\ a_{14} =-(14 - 12)(14 - 2) = (-14 + 12)\cdot 12= -2 \cdot 12 = - 24\\\ itd.$

Odp. Wyrazy niedodatnie ciągu (an) to pierwszy, drugi i dwunasty wyraz ciągu oraz wyrazy o numerach większych od 12, zatem w ciągu (an) jest nieskończeniewiele wyrazów niedodatnich.

d) nieujemnych $a_n \geq 0$

$-(n - 12)(n - 2) \geq 0 \\\ n \in \langle 2; \ 12 \rangle$

Ponieważ n ∈ N+, zatem:

$n \in \{2; \ 3; \ 4; \ 5; \ 6; \ 7; \ 8; \ 9; \ 10; \ 11; 12 \}$

Na specjalne życzenie zadającej podaję wartości tych wyrazów :)

$a_2 =-(2- 12)(2 - 2) = (-2 + 12) \cdot 0= 10 \cdot 0 = 0 \\\ a_3 =-(3- 12)(3 - 2) = (-3 + 12) \cdot 1= 9 \cdot 1 = 9 \\\ a_4 =-(4 - 12)(4 - 2) = (-4 + 12)\cdot 2= 8 \cdot 2 = 16 \\\ a_5 =-(5 - 12)(5 - 2) = (-5 + 12)\cdot 3= 7 \cdot 3 = 21 \\\ a_6 =-(6 - 12)(6 - 2) = (-6 + 12)\cdot 4= 6 \cdot 4 = 24$

Odp. Wyrazami nieujemnymi ciągu (an) są wyrazy a₂ = 0; a₃ = 9; a₄ = 16; a₅ = 21; a₆ = 24; a₇ = 25; a₈ = 24 ; a₉ = 21; a₁₀ = 16, a₁₁ = 9 i a₁₂ = 0, zatem w ciągu (an) jest 11 wyrazów nieujemnych.