Ciągi - szereg geometryczny - równanie z wartościami trygonometrycznymi - Rozszerzenie prosze o jasn.... Question from @Renek

January 2019 1 12 Report

Ciągi - szereg geometryczny - równanie z wartościami trygonometrycznymi - Rozszerzenie

$sin^{2} x + sin ^{3} x+sin^{4}x+...=1+sinx$

prosze o jasny przekaz, mile widziane na kartce ;) Dzięki z góry :D

Paawełek Jest to szereg geometryczny o q=sin x (każdy wyraz powstaje przez pomnożenie przez sin x). By szereg geometryczny był zbieżny, to musi zajść |q|<1 a zatem |sin x|<1 tak więc dziedzina jest taka, że

$\sin x \neq 1 \qquad \sin x \neq -1$

(bo wartość sinusa jest w przedziale <-1, 1>). Mamy więc w szeregu dane:

$a_1=\sin^2 x \\ q=\sin x \\ \\ \hbox{Wzor na sume:} \\ \\ S=\dfrac{a_1}{1-q} \\ \\ \hbox{Podstawiasz:} \\ \\ \sin^2 x + \sin^3 x +\sin^4 x +...= \dfrac{\sin^2 x}{1-\sin x}$

Rozwiązujesz równanie:

$\dfrac{\sin^2 x}{1-\sin x}=1+\sin x \qquad /\cdot (1-\sin x) \\ \\ \sin^2 x = (1+\sin x)(1-\sin x) \\ \\ \sin^2 x = 1-\sin^2 x \\ \\ 2\sin^2 x =1 \qquad /:2 \\ \\ \sin^2 x =\dfrac{1}{2} \qquad /\sqrt{} \\ \\ \sin x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \\ \sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Skąd masz cztery rozwiązania rozwiązując obie równości po kolei:

$x_1=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k \\ \\ x_2=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k \\ \\ x_3=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k \qquad \qquad \left( \hbox{Mozesz takze zapisac ze} \ \ x_3=\dfrac{7\pi}{4} +2\pi k\right) \\ \\ x_4=\dfrac{5\pi}{4}+2\pi k \\ \\ k\in \mathbb{C}$

2 votes Thanks 0