Ciągi, poziom rozszerzony, dam naj. Oblicz sumę: 7+77+777+...+77....7 (100 siódemek).... Question from @Enoth

December 2018 1 10 Report

Ciągi, poziom rozszerzony, dam naj.
Oblicz sumę:
7+77+777+...+77....7 (100 siódemek)

MrPolygon Nasza suma, która wygląda tak:

$\begin{array}{r}7\\77\\777\\7777\\77777\\\vdots\\{}+{}\underbrace{777\ldots777}_{\textrm{sto\;cyfr}}\\\rule{21mm}{0.5pt}\end{array}$

może być zapisana w inny sposób, mianowicie:

$\begin{array}{r}7\cdot1\\7\cdot11\\7\cdot111\\7\cdot1111\\7\cdot11111\\\vdots\\{}+7\cdot{}\underbrace{111\ldots111}_{\textrm{sto\;cyfr}}\\\rule{25mm}{0.5pt}\end{array}$

Liczba mająca n cyfr i zapisana samymi jedynkami wyraża się następująco:

${1}\underbrace{000\ldots000}_{n\;zer}=10^n\\\\{}\\\underbrace{999\ldots999}_{n\;dziewia\!,tek}=10^n-1\\\\{}\\\underbrace{111\ldots111}_{n\;jedynek}=\dfrac{10^n-1}{9}$

To oznacza, że nasza suma siódemkowa jest równa:

$7+77+777+7777+\ldots+\underbrace{777\ldots777}_{setka}=\\\\{}\\=7\cdot1+7\cdot11+7\cdot111+7\cdot1111+\ldots+7\cdot\underbrace{111\ldots111}_{setka}=\\\\\\=7\cdot\dfrac{10^1-1}{9}+7\cdot\dfrac{10^2-1}{9}+7\cdot\dfrac{10^3-1}{9}+\ldots+7\cdot\dfrac{10^{100}-1}{9}=$

$=7\cdot\left(\dfrac{10^1-1}{9}+\dfrac{10^2-1}{9}+\dfrac{10^3-1}{9}+\ldots+\dfrac{10^{100}-1}{9}\right)=\\\\{}\\\\=7\cdot\dfrac{10^1-1+10^2-1+10^3-1+\ldots+10^{100}-1}{9}=\\\\{}\\\\=7\cdot\dfrac{10^1+10^2+10^3+\ldots+10^{100}-1-1-1-\ldots-1}{9}=\\\\{}\\\\=7\cdot\dfrac{10^1+10^2+10^3+\ldots+10^{100}-100}{9}=$

W liczniku mamy sumę
$10^1+10^2+10^3+\ldots+10^{100}$ ,
która jest po prostu sumą ciągu geometrycznego mającego
$a_1=10,\quad{}q=10,\quad{}n=100$ ,
więc
$10^1+10^2+10^3+\ldots+10^{100}=a_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}=10\cdot\dfrac{1-10^{100}}{1-10}=\\\\{}\\=10\cdot\dfrac{10^{100}-1}{9}$

W takim razie w dalszym ciągu naszej sumy siódemkowej mamy:

$=7\cdot\dfrac{10^1+10^2+10^3+\ldots+10^{100}-100}{9}=\\\\{}\\\\=7\cdot\dfrac{10\cdot\frac{10^{100}-1}{9}-100}{9}=\dfrac{7}{9}\cdot\left(10\cdot\dfrac{10^{100}-1}{9}-100}\right)=\\\\{}\\\\=\dfrac{70}{9}\cdot\left(\dfrac{10^{100}-1}{9}-10}\right)$

$=\dfrac{70}{9}\cdot\dfrac{10^{100}-91}{9}=\dfrac{70\cdot(10^{100}-91)}{81}$

5 votes Thanks 2

More Questions From This User See All

Enoth April 2019 | 0 Replies

Dużo zadanek, ale bardzo proste, poziom a1, max a2. 1. Napisz pytanie do podanej odpowiedzi a) ............................... In Warschau b) ............................... 01-629 c) ............................... Bachstrasse 40 d) ................................. Polnisch, Englisch und Deutsch e) ............................... 519 21 20 f) ................................ +48 22 2. Wstaw do pytania: Wo, woher oder wohin? a) ..... fahrt Markus heute? - Nach Frankfurt b) .... geht ihr heute Abend? -Ins Konzert c) .... treffen wir martin? -Im cafe d) ....kommt Stefan Moller? -Er kommt aus Deutschland e) .... sind die Toiletten? - Gleich hier vorne. f) ..... studierst du? - Ich studierte an der Harvard Uni. 3. Popraw instrukcje dla Marty i jej przyjaciółki. a) Vergisst bitte den Termin nicht! b) Ruft ihr bitte auch Monika an! c) Fahrt nicht wieder zu schnell! d) Mitnehmt bitte eure Gitarren! e) Selen ihr nicht so laut! f) Lauft schnell in den Supermarkt! g) Horen Sie gut zu! Wstaw słówka do tekstu spośród: telefonieren, decken, besuchen, machen, lernen, betreuen, kochen, arbeiten Liebe Anna, Ich schreibe nur kurz, ich habe keine Zeit. Heute muss ich den Grosseinkauf ........ . Mein Au-pair Familie ist sehr nett, aber ich muss viel ....... . Um 6.30 Uhr muss ich den Tisch zum Fruhstuck ........ . Jeden Vormittag muss ich den Haushalt machen und das Mittagessen ........ . Am Nachmittag muss ich die Kinder ..... . Ich habe drei Abende frei. Da mochte ich einen Deutschkurs ..... . Ich mochte viel ....... . Konnen wir am Sonntag ..... ? Liebe Grusse, deine Martha. 5. Haben czy sein? uzupełnij. a) Wie lange .... du bei Oskar geblieben? b) ..... du gestern lange geschlafen? c) Wann ..... du aufgewacht? d) Wer .... dich geweckt? e) ....... du sofort aufgestanden? f) Du .... lange gearbeitet! g) Wann ..... du zu Hause gewesen? Dam naj za wszystko, częściowe odpowiedzi zgłaszam! Thx

Enoth April 2019 | 0 Replies

Potrzebuję pomocy z napisaniem biografii dowolnego celebryty/ znanej osoby (np. Bill Gates, Lana del Rey) na 10 - 12 zdań. Język niemiecki, poziom a1. Pod biografią 5 pytań odnośnie danej osoby, na które odpowiedzi znajdziemy w biografii. Daje naj! Potrzebuję tego na dzisiaj do 20-21.

Enoth February 2019 | 0 Replies

Zadanie z grafiki dla pracowitych. Przygotuj numerki od 1 do 30 w Microsoft Wordzie, które będą ładne, przejrzyste i łatwe do wycięcia. Ważne: -prostokąty powinny być równe i mieć wymiary mniej więcej 4(x) 3(y) lub 5(x) 4(y) -każdy numerek musi być zrobiony osobno (jeśli jest sposób żeby zrobić kwadraty do każdego WordArtu za jednym razem to ok) Dam naj! W przykładzie skorzystałem z WordArtu

Enoth January 2019 | 0 Replies

Dam naj! Krótki list, poziom gimnazjum.Proszę o pomoc z napisaniem listu! Od 80 do 130 słów, poziom bardzo bardzo podstawowy, mile widziany czas Praeteritum.Dam naj! Niedawno przeprowadziles sie z rodziną do nowego domu za miastem. Napisz list do swojej koleżanki z Anglii. W liście : -poinformuj o przyczynach przeprowadzki -opisz położenie domu -napisz, jak Twoi koledzy z klasy zareagowali na przeprowadzkę -przedstaw zalety mieszkania poza miastem. Liebe Noemi, vielen Dank fur deine email! Vor zwei Wochen bin ich mit meiner Familie in ein neues Haus umgezogen. ....... ...... ...... Ich wurde mich sehr freuen, bald wieder von dir zu horen. Viele grusse auch an deine Elte

Enoth January 2019 | 0 Replies

Bardzo proszę o pomoc z listem. Maks 130 słów. Wymagane JAK NAJPROSTSZE GRAMATYCZNIE(!!!) zdania. Bez zdań w Dativie. Chcesz zaprosić kolegę z Niemiec. Napisz do niego list i zaplanuj jego podróż. W liscie: -zaproś go do miejsca, w którym mieszkasz. -zapytaj o dogodny termin podróży -zaproponuj ciekawe miejsca i obiekty, które możecie zwiedzić -napisz, co powinien ze sobą zabrać. Poczatek : Hallo Max, vielen Dank fur deine Email. Ich habe mich sehr daruber gefreut. Koniec: ich warte A uf eine Email von dir. Ich hoffe, wir sehen uns bald. Vielen grusse, xyz. Dam naj!

Enoth January 2019 | 0 Replies

List do kolegi z Niemiec. Dam naj!Musze opisać swoje przygotowania do studniówki. Powinienem : -wyjaśnić, co to studniówka -Poinformować, gdzie będzie i czemu właśnie tam -Napisać jaki mam problem z wyborem osoby towarzyszącej -Wyrazić wątpliwość w sprawie planowanego stroju i spytać o radę. 80-130 słów. Bardzo proszę o proste, ale poprawne zdania, poziom 1b/2a List zaczyna się tak (i nie jest to liczone do słów) : "Hallo Peter, entschuldige bitte, dass ich so lange nicht geschrieben habe. Ich bin sehr beschaftigt, denn ich bereite mich auf" srudniówka " vor. Ich denke nur daran."

Enoth January 2019 | 0 Replies

Język niemiecki, dam naj! Napisz opowiadanie o przygodzie z wakacji. 130-200 słów. Proszę o niezbyt trudne zdania/gramatykę i niezaawansowane słownictwo. Oraz o w miarę normalną historie, taką którą pokażę w szkole :D Z góry dziękuję!

Enoth January 2019 | 0 Replies

Pilne. Dam naj. Na okręgu opisano trapez prostokątny. Odległości środka okręgu od końców pochyłego ramienia wynoszą 2 i 4. Oblicz pole trapezu.

Enoth January 2019 | 0 Replies

Napisz równania wspólnych stycznych do okręgów: x²+y²=1 i (x-4)²+y²=1

Enoth January 2019 | 0 Replies

W trapezie rownoramiennym ABCD o podstawach AB, CD takim, że odcinek BD jest prostopadly do odcinka AD dane są A(-1,-3)i równanie prostej przechodzącej przez punkty B, D: x-2y=0. Pole trojkata ABD jest równe 7,5. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego trapezu, oblicz jego pole.

Recommend Questions

user7521 October 2020 | 0 Replies

Na loterii jest 10 losów wygrywających i 20 losów przegrywających. Ile losówgrywających należy dodać, aby prawdopodobieństwo wygranej zmniejszyło się do 1/5 ? wiem ze to bedzie 20 ale nie wiem jakie obliczenia

amelkaskoczylas October 2020 | 0 Replies

Pomocy! Zadanie 7!!! Na teraz

starfiuqa October 2020 | 0 Replies

Poloncz równe ułamki

abcebqjfj October 2020 | 0 Replies

uzupełnij zdanie zamiast kropek wpisz większy lub mniejszy a) zaokrąglenie liczby 8,149 do części dziesiętnych jest......... od tej liczby b)zaokrąglenie liczby 284 do dziesiatek jest......... od tej liczby

ola737626 October 2020 | 0 Replies

BŁAGAM POMÓŻCIE PLIIIISSSSSSSS ❤️❤️❤️ DAJE ❤️ I NAJ!!!!!! BĘDĘ WDZIĘCZNA PLISSSSSSSSS...W tabeli (w załączniku) podano wyniki zakończonego sezonu szkolnej ligi piłkarskiej każda z drużyn rozegrała 10 meczów. Za wygrany mecz otrzymywała 3 punkty za remis 1 punkt a za porażkę 0 punktówWykonaj polecenie i napisz działanie Niebiescy w 10 meczach zdobyli 26 punktów. Ile razy odnieśli zwycięstwo A ile razy zremisowali

martimisu October 2020 | 0 Replies

proszę o szybką pomoc!

Missaaaa October 2020 | 0 Replies

Oblicz DAJE NAJMatematyka PROSZĘ o szypka odpowiedź Na dzisiaj

radziszewska2115 October 2020 | 0 Replies

Zrobi ktoś ? prosze pilne na jutrro!!

jhjhkjl456362 October 2020 | 0 Replies

Oblicz i odpowiedź podaj w najprostszej postaci. Podaj dziedzinę. Bardzo proszę o szybką odpowiedź! Zad w załączniku

0904Bd October 2020 | 0 Replies

Proszę o rozwiązanie zadania nr 8

Terms of Service

Life Enjoy

" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "

Get in touch

Social

© Copyright 2013 - 2024 KUDO.TIPS - All rights reserved.