Question

Ciągi geometryczne.

zad1) oblicz wartość wyrażenia : 1+3+9+...+243

zad2) oblicz dla jakich wartości m i n liczby 3 , 2m-1 , n+2 .sa trzema kolejnymi wyrazami ciagu arytmetycznego i jednoczesnie trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

zad3) liczby 3-2 są trzecim czwartym i piatym wyrazem ciagu oblicz:

a) iloraz q

b) pierwszy wyraz

c) róznice wyrazu siódmego i piątego.

Answer 1

1. 

a)

1 + 3 + 9 + ... + 243

Mamy wyrazy ciągu geometrycznego:

a1 = 1

q = 3

an = 243

an = a1* q^(n-1)

zatem

1*3^(n-1) = 243 = 3^5

n- 1 = 5

n = 6

-

Sn = a1*[1 - q^n]/[1 - q]

czyli

S6 = 1*[1 - 3^6]/ [ 1 - 3] = [ 1 - 729] /(-2) = - 728 /(-2) =  364

Odp. 1 + 3 + 9 + ... + 243 = 364

2. (3+x)/2=y |*2
(y-6)²=3*x
3+x=2y
x=2y-3
(y-6)²=3*(2y-3)
y²-12y+36=6y-9
y²-12y+45=0
(delta)=144
√(delty)=12
y₁=3 (tu nie ma ciągu arytm.)
y₂=15
ciąg a. 3,15,27 r=12
ciąg g. 3,9,27 q=3

3. liczby 3-2√2, 10-7√2, 34-24√2 (w podanej kolejności)są trzecim,czwartym i piątym wyrazem ciągu geometrycznego (an). Oblicz:
a)iloraz q tego ciągu

q=(10-7√2)/(3-2√2) * (3+2√2)/(3+2√2)
q=[(10-7√2)*(3+2√2)]/[(3-2√2)(3+2√2)]
q=[30+20√2-21√2-28]/[9-8]
q=2-√2

b)wyraz pierwszy tego ciągu

a₃=3-2√2=a₁*q²
3-2√2=a₁*(2-√2)²
3-2√2=a₁*(4-4√2 +2)
3-2√2=a₁*(6-4√2) /:(6-4√2)
a₁=(3-2√2)/(6-4√2)
a₁=(3-2√2)/[2(3-2√2)]
a₁=1/2

c)różnicę wyrazów siódmego i piątego
q=2-√2
a₇=a₁q⁶
a₅=a₁q⁴
a₅=34-24√2=a₁q⁴
a₇-a₅=a₁q⁶-a₁q⁴=a₁q⁴(q²-1)
a₇-a₅=(34-24√2)((2-√2)²-1)
a₇-a₅=(34-24√2)((4-4√2 +2)- 1)
a₇-a₅=(34-24√2)[6-4√2 -1]
a₇-a₅=(34-24√2)(5-4√2)
a₇-a₅=170-136√2-120√2+192
a₇-a₅=362-256√2

Answer 2

1.

 

2.

(a, b, c)- ciąg arytmetyczny, jeśli

 

(a, b, c)- ciąg geometryczny, jeśli

 

 

 

3.

 

a)

 

b)

 

c)