Question

ciąg (x,y,z) jest geometryczny i x+y+z=35, ciąg (x+4,y+5,z+1)arytmetyczny. oblicz x,y,z

Answer 1

Musimy ułożyć układ równań. Jeśli ciąg (a,b,c) jest arytmetyczny, to wiemy, że b=(a+c)/2. Ponadto wyrazy ciągu arytmetycznego różnią się tą samą różnicą r, zatem a+r=b, b+r=c.

Układ równań:

1. x+y+z=35

2. x+4+r=y+5

3. y+5+r=z+1

4. y+5=(x+4+z+1)/2

Mamy więc 4 równania i cztery niewiadome x,y,z i r.

Przekształcamy:

4. y+5=(x+z+5)/2

    y=((x+z+5)/2)-5

    y=((x+z+5)/2)-10/2

    y=(x+z+5-10)/2

    y=(x+z-5)/2

Podstawiamy 4. do 1.:

1. x+((x+z-5)/2)+z=35

    (2x/2)+((x+z-5)/2)+(2z/2)=35

    (2x+x+z-5+2z)/2=35

    (3x+3z-5)/2=35  /*2

    3x+3z-5=70

    3x=70+5-3z

    3x=75-3z  /:3

    x=25-z

Podstawiamy 1. do 2.

2. 25-z+4+r=y+5

    r=y+5-25+z-4

    r=y+z-24

Podstawiamy 2. do 3.

3. y+5+y+z-24=z+1

   2y=z+1+24-z-5

   2y=20  /:2

   y=10

Podstawiamy 3. do 4.

4. 10=(x+z-5)/2   /*2

    20=x+z-5

    x+z=20+5

    x=25-z

 

Zatem równanie 4 sprowadziło się do tej samej postaci co równanie 1. . Wynika stąd, że układ ten jest układem nieoznaczonym czyli, że ma nieskończenie wiele rozwiązań.