Question

Ciąg nieskończony o wyrazie ogólnym cn=n^2-8n-9 ma wyrazy dodatnie. Ile jest tych wyrazów?

Answer 1

cn = n² - 8n - 9

cn > 0 i n ∈ N⁺

 

n² - 8n - 9 > 0

Szukamy miejsc zerowych

n² - 8n - 9 = 0

Δ = (-8)² - 4 · 1 · (-9) = 64 + 36 = 100

√Δ = √100 = 10

n₁ = (8 - 10) / (2 · 1) = - 2 / 2 = - 1

n₂ = (8 + 10) / (2 · 1) = 18 / 2 = 9

 

Zaznaczamy miejsca zerowe - 1 i 9 na osi. Rysujemy przyblizony wykres, czyli parabolę, której ramiona są skierowane w górę, bo a = 1 > 0. Odczytujemy rozwiązanie, czyli tak zbiór argumetów, dla których wartości będą dodatnie (większe od zera):

n ∈ (- ∞; - 1) u (9; + ∞)

 

Jednak w ostatecznym rozwiązaniu musimy uwzględnić warunek: n ∈ N⁺, stąd otrzymujemy: n ∈ (9; + ∞), czyli n > 9.

Zatem takich wyrazów jest nieskończenie wiele.