Question

Ciąg liczbowy (a,b,c) jest arytmetyczny i a+b+c=33. Ciąg(a-1, b+5, c+19) jest geometryczny. Oblicz a, b, c.

Proszę wraz z wytłumaczeniem

Answer 1

 

Ciąg jest arytmetyczny, więc

 

 

 

 

Obliczam

Z warunków zadania mamy:

 

 

 

 

 

Obliczam

 

Ciąg jest geometryczny, więc

 

 

 

 

 

 

----------------

 

 

---------------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Obliczam

 

 

 

Szukane liczby to: lub

Answer 2

w ciągu arytmetycznym  mamy stałą różnicę między kolejnymi  wyrazami.

oznaczmy ją r

 

a= b-r

c= b+r

 

po podstawieniu  tej zależności  do   równania  a+b+c = 33 otrzymujemy :

 

(b-r) + (b) + (b+r) = 33

 

3b = 33

 

b = 11

 

a+c = 33-11 = 22

 

 

ciąg geometryczny  chrakteryzuje się  stałą  zwaną ilorazem . tu wyraz następny  jest iloczynem wyrazu poprzedniego i  tej wartości stałej zwanej ilorazem

 

(a-1) · i = (b+5) = { podstawię  obliczone b } = 11+5 = 16

 

ai - i = 16

c+19    =  16i      stąd c= 16i -19

a+c=22               stąd  a= 22-c           a = 22-(16i-19)= 22-16i + 19 = 41-16i

       

(41-16i)i-i-16=0

 

-16i² + 41i-i-16 =0

 

-16i² + 40i-16 =0     /: 4

 

-4i² + 10i - 4 = 0

 

a=-4     b= 10      c= -4      Δ = 100 - 4·(-4)·(-4) = 36           Δ^(1/2)= 6

 

i1 = (-10-6)/-8 = 2

i2=  (-10+6)/-8 = 0,5

 

sprawdzimy  prawdziwość rozwiązań ilorazu

 

i=2:

 

 

(b+5)·2= c+19            (a-1) ·2 = b+5

              

 2(11+5 )-19= c          2a - 2 = b+5

 

c=13                         2a = 11+5 +2 = 18     /:2

 

                                a= 9

 

 

sprawdznie w odniesieniu do ciągu  arytmetycznego :

 

9 + r = 11   ;  11 + r = 13

 

r= 2

 

sprawdzenie OK

 

 

-------------

 

sprawdzenie dla  ilorazu   i=0,5

 

 

 

(b+5)·0,5= c+19            (a-1) ·0,5 = b+5

              

 0,5(11+5 )-19= c          0,5 a - 0,5 = b+5

 

c=-11                           0,5a = 11+5 +0,5 = 16,5    / ·2

 

                                   a= 33 

 

 

sprawdznie w odniesieniu do ciągu  arytmetycznego :

 

-11 + r =  11     ; 11+ r = 33

 

r= 22

 

sprawdzenie OK

 

-------------

 

Odp  możliwymi  rozwiązaniami  są :   a=33 ; b= 11 ;  c= -11

                                                         a= 9    ;b=11  ; c= 13