Question

Chodzi o rozwiązanie z uzasadnieniem dlaczego taka odpowiedz oto zadanie 0,2(13) oraz

0.13(8) proszę o rozwiązanie (zamiana na ułamek zwykły)

Answer 1

Dla liczby n cyfrowej abc..., aby uzyskać ułamek postaci:

 

zero, przecinek, k zer i abc... w okresie

 

Musisz liczbę abc... podzielić przez liczbę postaci:

 

n-krotna dziewiątka oraz k zer

 

czyli matematycznie: ∑ [i = 1, n] (9 × 10^ (k + i - 1) )

 

Np.:

 

0.0(13) = 13 / 990 (liczba dwucyfrowa, stąd dwie 9, oraz jedno zero na początku, stąd "990")

 

0.00(8) = 8 / 900

 

Dlatego:

0.2(13) = 0.2 + 13 / 990 = 198 / 9900 + 130 / 9900 = 328 / 9900

 

0.13(8) = 13/ 100 + 8/900 = 117 / 900 + 8 / 900 = 125 / 900

 

 

A skąd się wziął ten dziwny wzór? Jest to uogólnienie dzielenia liczby jednocyfrowej przez 9.

 

n/9 = 1/9 × n = 0.(1) × n = 0.(n)

 

Uf :P

 

Jeszcze dokładniej:

 

Będzie to ułamek

 

abc... / (10^k × ∑ [i = 1, n] (9 × 10^ ( i - 1) )) =

 

= [ abc... / ∑ [i = 1, n] (9 × 10^ ( i - 1) )  ] ×10^-k

 

10^-k determinuje liczbę zer na początku ułamka dziesiętnego, a w tej sumie jest dokładnie tyle dziewiątek, co cyfr w naszej liczbie, a tak musi być, ponieważ:

 

1/9 = 0.(1), 1/99 = 0.(01), 1/999 = 0.(001) etc. To obserwacja empiryczna, a jej uzasadnienie:

 

1:999 = 10⁻³ ×10³ : 999 = 10⁻³ × (1 + 1:999) = 1×10⁻³ + 1:999×10⁻³ =

= 0.001 + 1:999×10⁻³

 

Aby nam pojawiła się jedność plus reszta, musimy uciec się do potęgi równej liczbie dziewiątek. Dlatego wyszło nam 0.001 (jedynka na trzecim miejscu po przecinku). A że pozostała reszta 1:999 tylko tysiąc razy mniejsza, to będzie się ten wzór stosował rekurencyjnie w nieskończoność i wyjdzie okres.

 

Uff, może trochę chaotycznie, trochę zawile, ale mam nadzieję, że wiadomo, o co chodzi. ;-)