Cecilia escribio en la pizarra 5 numeros naturales consecutivos y Beatriz escribio 7 numeros naturales consecutivos, de tal forma que los 12 numeros son diferentes. la suma de los numeros de Cecilia es igual a S, y la suma de los numeros de Beatriz tambien es S. determine el menor valor posible de s
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La suma de eso es 5x + 10
Beatriz escribió: y, y+1, y+2, y+3, y+4, y+5, y+6
Las suma de eso es 7y + 21
Las dos sumas son iguales: 5x + 10 = 7y + 21
5x = 7y + 11
Hay infinitos pares x,y que cumplen con esa ecuación. Vamos a determinar cuáles son pares de números enteros.
Para ello se busca parametrizar la ecuación en funcion de un k que será entero.
Despejamos x: x = [7y +11]/5
Como x es entero la parte derecha tambien lo sera
[7y + 11]/5 = entero
separamos el numerador en dos grupos uno de los cuales sea multiplo del denominador:
[5y + 2y + 10 + 1]/5 = [5y + 10]/5 + [2y + 1]/5 = y + 2 + [2y + 1]/5
como el miembro izquierdo y (y+2) son enteros, lo que queda tambien sera entero
[2y +1]/5 = entero
Multiplicamos el numerador por 3 (para que luego el residuo de dividir entre 5 sea 1)
[6y + 3]/5 = entero [porque es el resultado de multiplicar un entero por 3]
[5y + y + 3]/ 5 = 5y/ 5 +[y+3]/5 = y + [y+3]/5
Como el miembreo izquierdo y y son enteros, el resto tambien sera entero
llamemos k a ese entero
[y+3]/5 = k
y = 5k - 3 [es nuestra primera ecuacion de y parametrizada]
Ahora sustituimos ese valor de y en nuestra ecuacion inicial de x despejada.
x = [7y + 11]/5 = [7(5k -3) + 11]/5 = [35k - 21 +11]/5 = 7k-2
Esa es la ecuacion de x parametrizada
Pongamos juntas las dos ecuaciones parametrizadas:
y = 5k - 3
x = 7k-2
Dando valores enteros a K hallamos los valores enteros de x y y
k = 1, y = 2, x =5
Esos son los menores valores posibles para x, y; pero resultan en numeros repetidos en la pizarra.
Para k = 2
y = 5(2) - 3 = 7
x = 7(2) - 2 = 12
k = 3
y = 5(3) - 3 = 15 - 3 = 12
x = 7(3) - 2 = 21 - 2 =19
De esa forma, Beatriz escribiio 12, 13, 14, 15, 16, 17 y 18
Cecilia escribio: 19, 20, 21, 22 y 23.
Verifiquemos la suma de cada grupo de numeros>
12+13+14+15+16+17+18 = 105
19+20+21+22+23= 105
Respuesta: el menor valor posible de s es 105.
Llama y al primer numero que escribio Beatriz, entonces los siete numeros que ella escribio son: y,y+1,y+2,y+3,y+4,y+5,y+6. Cuya suma es S = 7y+21
De esas condiciones resulta la siguiente ecuacion: 5x+10=7y+21
Que tiene ademas que cumplir con x=entero, y = entero, todos los numeros diferentes.
El metodo para hallar tal solucion es parametrizar los dos miembros (izquierdo y derecho) en funcion de un entero para luego dar valores variables a ese entero y encontrar la solucion que cumple las condiciones.
Empezamos despejando la variable que tiene menor coeficiente, x, quedando:
x = [7y +11]/5
Como x es entero la parte derecha tambien lo sera
[7y + 11]/5 = entero
Separamos el numerador en dos grupos uno de los cuales sea multiplo del denominador:
[5y + 2y + 10 + 1]/5 = [5y + 10]/5 + [2y + 1]/5 = y + 2 + [2y + 1]/5
Como tanto el miembro izquierdo como (y+2) son enteros, lo que queda tambien es entero
[2y +1]/5 = entero
Multiplicamos el numerador por 3 (para que luego el residuo de dividir entre 5 sea 1)
[6y + 3]/5 = entero [porque es el resultado de multiplicar un entero por 3]
Separamos el numerador como hicimos antes:
[5y + y + 3]/ 5 = 5y/ 5 +[y+3]/5 = y + [y+3]/5
Como el miembreo izquierdo y "y" son enteros, el resto tambien sera entero
llamemos n a ese entero
[y+3]/5 = n
y = 5n - 3 [es nuestra primera ecuacion de "y"]
Ahora sustituimos ese valor de "y" en nuestra ecuacion inicial de x despejada.
x = [7y + 11]/5 = [7(5n -3) + 11]/5 = [35n - 21 +11]/5 = 7n-2
Esa es la ecuacion de x parametrizada
Pongamos juntas las dos ecuaciones parametrizadas:
y = 5n - 3
x = 7n-2
Dando valores enteros a n hallamos los valores enteros de x y y
n = 1, y = 2, x =5
Esos son los menores valores posibles para x, y; pero resultan en numeros repetidos en la pizarra [2,3,4,5,6,7,8 y 5,6,7,8,9]
Para n = 2
y = 5(2) - 3 = 7
x = 7(2) - 2 = 12
Tambien resulta en numeros repetidos: 7,8,9,10,11,12,13 y 12,13,14,15,16
n = 3
y = 5(3) - 3 = 15 - 3 = 12
x = 7(3) - 2 = 21 - 2 =19
De esa forma, Beatriz escribiio 12, 13, 14, 15, 16, 17 y 18
Cecilia escribio: 19, 20, 21, 22 y 23.
Verifiquemos la suma de cada grupo de numeros>
12+13+14+15+16+17+18 = 105
19+20+21+22+23= 105
Respuesta: el menor valor posible de la suma de los numeros escritos por Cecilia y Beatriz es 105