Question

1) wykaż, że jeśli P(A/B) = P(A/B'), gdzie P(B) >0 i P(B')>0 to zdarzenie A i B są niezależne.
2) wykaż, że jeżeli zdarzenia B i C są niezależne oraz P(C) >0 i P(C') >0, to P(B/C)=P(B/C')

Answer 1

Uwaga: jest róznica miedzy zapisami P(A/B) i P(A|B)
P(A/B) - prawd. roznicy zbiorów A / B, czyli prawd. tego, że A zaszło, a B nie zaszło
P(A|B) - prawd. zdarzenia A, o ile wiadomo, ze zaszlo zdarzenie B

Mysle, że w tym zadaniu wystepuje to drugie, czyli P(A|B), bo w przypadku P(A/B) nie wynika niezalezność i nietrudno pokazac kontrprzykład.

1/
P(A | B) = P(A| B')
kilka zależności:

uwaga: pisze dalej "A iloczyn B", co znaczy cześć wspolna A i B, czyli zamiast "iloczyn" nalezy wstawiac odwrócone U

P(A|B) = P(A iloczyn B) / P(B)
P(A|B') = P(A iloczyn B') / P(B')
P(A iloczyn B') = P(A) - P(A iloczyn B), bo A = (A iloczyn B) U (A iloczyn B')
P(B') = 1- P(B)

podstawienie:
P(A | B) = P(A| B')
P(A iloczyn B) / P(B)  = P(A iloczyn B') / P(B')
P(A iloczyn B) / P(B) = P(A) - P(A iloczyn B) / 1- P(B)
P(A iloczyn B)*(1- P(B))  = P(A)*P(B) - P(A iloczyn B)*P(B)
P(A iloczyn B) - P(B)*P(A iloczyn B)  = P(A)*P(B) - P(A iloczyn B)*P(B)
P(A iloczyn B) = P(A)*P(B)
zatem A i B sa niezalezne

2/
w drugą stronę jest krócej.
P(B|C) = P(B) z definicji niezaleznosci,
a skoro B jest niezależne od C, to jest także niezależne od C',
bo prawd B nie zależy od tego czy C zaszło czy nie zaszło, a wiec od tego czy C' nie zaszło czy zaszło (gdy C zachodzi to nie zachodzi C' i na odwrot)
więc
P(B|C') = P(B)
zatem:
P(B|C) = P(B) = P(B|C')
P(B|C) = P(B|C')