Question

Cara penyelesaian soal aritmatika modulo?

Answer 1

Konsep 1: Operasi modulo dalam matematika
Jika a adalah bilangan bulat dan b adalah bilangan asli (bulat positif), maka a mod b adalah sebuah bilangan bulat c dimana 0 ≤ c ≤ b-1, sehingga a-c adalah kelipatan b. Contohnya, 7 mod 3 = 1, karena 7-1 adalah kelipatan 3. Perhatikan bahwa 7 mod 3 != 4, karena 4 >= 3, dan 7 mod 3 != 2, karena 7-2 bukan kelipatan 3. Bisa dibayangkan bahwa a mod b itu sisa pembagian dari a dibagi b. Tapi hati-hati untuk nilai a negatif: -7 mod 3 = 2.
Teorema 1: Kumpulan sifat distributif mengenai modulo
Jika a, b adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli, maka:
1. (a+b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n
2. (ab) mod n = ((a mod n) * (b mod n)) mod n
3. (a^b) mod n = ((a mod n)^b) mod n, untuk b bilangan bulat nonnegatif

Latihan 1
1. Tentukan nilai dari 9876543210 mod 12.
2. Tentukan nilai dari (97531*8642 - 13579*2468) mod 20.
3. Tentukan angka terakhir dari 1 + 2 + 3 + ... + 2013. (Asumsi: Umumnya, "angka terakhir" itu dalam basis 10. Kalau diperbolehkan bertanya tentang soal, coba tanyakan; kalau tidak, bekerja dengan basis 10. Dalam soal ini, angka terakhir adalah dalam basis 10. Hint: "Angka terakhir dalam basis 10" berarti "mod 10". 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2.)
Konsep 2: Aritmatika modulo
a = b (mod c) berarti a mod c = b mod c.
Konsep 3: Invers modulo
Jika a adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli, dan a, n saling relatif prima, maka terdapat sebuah nilai b sehingga ab = 1 mod n. Nilai b disebut invers dari a modulo n.