Calcula mediante la definición de derivada, la derivada de las funciones en los puntos que se indica.... Question from @Kerlyarellano6

April 2019 1 5 Report

Calcula mediante la definición de derivada, la derivada de las funciones en los puntos que se indican por fa necesito ayuda

JameJM Hola,

La definición de derivada se expresa como:

$f '(x)= \lim_{h \to 0} \frac{f (x+h)-f (x)}{h}$

$----------------------$

$f(x) = 2 {x}^{2} \: \: \: \: \: en \: \: x = - 7$

Entonces, cuando x = - 7, obtenemos los siguiente:

$f '(-7)= \lim_{h \to 0} \frac{f (-7+h)-f (-7)}{h}$

Ahora, la derivada de la función mencionada es:

$f '(-7)= \lim_{h \to 0} \frac{f (-7+h)-f (-7)}{h} \\ f '(-7)= \lim_{h \to 0} \frac{2(-7+h) {}^{2} - (2( - 7 {)}^{2}) }{h} \\f '(-7)= \lim_{h \to 0} \frac{2( {h}^{2} - 14h + 49) - (2(49)) }{h} \\f '(-7)= \lim_{h \to 0} \frac{2 {h}^{2} - 28h + 98 - 98 }{h} \\ f '(-7)= \lim_{h \to 0} \frac{ {2h}^{2} - 28h }{h} \\ f '(-7)= \lim_{h \to 0} \frac{h(2h - 28)}{h} \\ f '(-7)= \lim_{h \to 0} 2h - 28 \\ f '(-7)=2(0) - 28 \\ f '(-7)= - 28 \\ \\ \\$

Respuesta: La derivada de la función es f'(- 7) = - 28.

$----------------------$

$f(x) = \sqrt{1 + 2x} \: \: \: \: en \: \: x = 4$
Entonces, cuando x = 4, obtenemos los siguiente:

$f '(4)= \lim_{h \to 0} \frac{f (4+h)-f (4)}{h}$

Ahora, la derivada de la función mencionada es:

$f '(4)= \lim_{h \to 0} \frac{ \sqrt{1 + 2(4 + h)} - \sqrt{1 + 2(4)} }{h} \\ f '(4)= \lim_{h \to 0} \frac{ \sqrt{1 + 8 + 2h} - \sqrt{1 +8} }{h} \\ f '(4)= \lim_{h \to 0} \frac{ \sqrt{9 + 2h} -3 }{h} \\ f '(4)= \lim_{h \to 0} \frac{ \sqrt{9 + 2h} -3 }{h} \times \frac{ \sqrt{9 + 2h} + 3 }{ \sqrt{9 + 2h} + 3 } \\ f '(4)= \lim_{h \to 0} \frac{ {( \sqrt{9 + 2h })}^{2} - {(3)}^{2} }{h \times ( \sqrt{9 + 2h } + 3)} \\ f '(4)= \lim_{h \to 0} \frac{9 + 2h - 9}{h \times (\sqrt{9 + 2h } + 3)} \\ f '(4)= \lim_{h \to 0} \frac{2h}{h \times ( \sqrt{9 + 2h } + 3) } \\ f '(4)= \lim_{h \to 0} \frac{2}{ \sqrt{9 + 2h} + 3 } \\ f '(4)= \frac{2}{ \sqrt{9 + 2(0)} + 3} \\ f '(4)= \frac{2}{3 + 3} \\ f '(4)= = \frac{2}{6} \\ f '(4)= \frac{1}{3} \\ \\ \\$

Respuesta: La derivada de la función es f'(4) = $\frac{1}{3}$ .

$----------------------$

$f(x) = \frac{1}{ \sqrt{2x - 1} } \: \: \: \: en \: \: x = 1$

Entonces, cuando x = 1, obtenemos los siguiente:

$f '(1)= \lim_{h \to 0} \frac{f (1+h)-f (1)}{h}$

Ahora, la derivada de la función mencionada es:

$f '(1)= \lim_{h \to 0} \frac{f (1+h)-f (1)}{h} \\ f '(1)= \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{1}{ \sqrt{2(1 + h) - 1} } - \frac{1}{ \sqrt{2(1) - 1} } }{h} \\ f '(1)= \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{1}{ \sqrt{2 +2 h - 1} } - \frac{1}{ \sqrt{ 1} } }{h} \\ f '(1)= \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{1}{ \sqrt{ 2 h + 1} } - \frac{1}{1 } }{h} \\f '(1)= \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{1}{ \sqrt{ 2 h + 1} } - 1 }{h} \\f '(1)= \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{1 - \sqrt{2h + 1} }{ \sqrt{ 2 h + 1} } }{h} \\f '(1)= \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{1 - \sqrt{2h + 1} }{ \sqrt{ 2 h + 1} } \times \frac{1 + \sqrt{2h + 1} }{1 + \sqrt{2h + 1} } }{h} \\f '(1)= \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{(1 {)}^{2} - (\sqrt{2h + 1} {)}^{2} }{ \sqrt{ 2 h + 1}(1 + \sqrt{2h + 1} ) } }{h } \\f '(1)= \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{1 - 2h - 1}{ \sqrt{2h + 1} + 2h + 1} }{h} \\ f '(1)= \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{ - 2h}{\sqrt{2h + 1} + 2h + 1} }{h} \\ f '(1)= \lim_{h \to 0} \frac{ - 2h}{h \times (\sqrt{2h + 1} + 2h + 1)} \\ f '(1)= \lim_{h \to 0} \frac{ - 2}{ \sqrt{2h + 1} + 2h + 1} \\ f '(1)= \frac{ - 2}{ \sqrt{2(0)+ 1} + 2(0)+ 1} \\ f '(1)= \frac{ - 2}{ \sqrt{ 1} + 2(0)+ 1} \\ \ f '(1)= \frac{ - 2}{ 1 + 1} \\ f '(1)= \frac{ - 2}{2} \\ f '(1)= - 1 \\ \\ \\$

Respuesta: La derivada de la función es f'(1) = - 1.

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Espero que te sirva, Saludos.

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