Question

Całki podwójne. Oblicz: Pliki w zdjęciach. Daje Naj

Answer 1

Rozwiązanie:

[tex]\boxed{\bold{2A}} \ \ 1.[/tex]

[tex]\bold{(a)}[/tex]

[tex]$\iint \limits_{D} (x^3-2y) \ \text{d}x\text{d}y[/tex]

Rysunek obszaru w załączniku.

Mamy:

[tex]D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2:x^2 \leq y \leq \sqrt{x}\}[/tex]

Granice zmienności [tex]x[/tex] :

[tex]\sqrt{x}=x^2 \iff x \in \{0,1\}[/tex]

[tex]0 \leq x \leq 1[/tex]

Całka:

[tex]$\iint \limits_{D} (x^3-2y) \ \text{d}x\text{d}y=\int\limits^{1}_{0} \Bigg(\int\limits^{\sqrt{x}}_{x^2} (x^3-2y) \ \text{d}y\Bigg) \text{d}x=\int\limits^{1}_{0} (x^3y-y^2) \Bigg|^{\sqrt{x}}_{x^2} \text{d}x=[/tex]

[tex]$=\int\limits^{1}_{0} x^{\frac72}-x^5+x^4-x \ \text{d}x=\frac{2}{9}x^{\frac92}-\frac16x^6+\frac15x^5-\frac12x^2\Bigg|^{1}_{0}=-\frac{11}{45}[/tex]

[tex]\bold{(b)}[/tex]

[tex]$\iint \limits_{D} \sqrt{x^2+y^2} \ \text{d}x\text{d}y[/tex]

[tex]D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2:x^2+y^2 \leq 4x\}[/tex]

Rysunek obszaru w załączniku.

Współrzędne biegunowe:

[tex]$\left\{\begin{array}{ccc}x=r\cos \varphi\\y=r\sin \varphi\\J(r, \varphi)=r\end{array}\right[/tex]

Ponadto:

[tex]0 \leq r \leq 4\cos \varphi[/tex]

[tex]$-\frac{\pi}{2} \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2}[/tex]

Całka:

[tex]$\iint \limits_{D} \sqrt{x^2+y^2} \ \text{d}x\text{d}y=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} \Bigg(\int\limits^{4\cos \varphi}_{0} r^2 \ \text{d}r\Bigg) \text{d}\varphi=\frac{64}{3}\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} \cos^{3}\varphi \ \text{d}\varphi=[/tex]

[tex]$=\frac{64}{3} \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} (1-\sin^2 \varphi)\cos \varphi \ \text{d}\varphi=\left|\begin{array}{ccc}u=\sin \varphi\\\text{d}u=\cos \varphi \ \text{d}\varphi\end{array}\right|=\frac{64}{3}\int \limits^{1}_{-1}(1-u^2) \ \text{d}u=[/tex]

[tex]$=\frac{64}{3} \Big(u-\frac13u^3\Big) \Bigg|^{1}_{-1}=\frac{64}{3}\Big(\frac23+\frac{2}{3}\Big)=\frac{64}{3} \cdot \frac{4}{3}=\frac{256}{9}[/tex]

[tex]\bold{(c)}[/tex]

Mamy policzyć objętość bryły ograniczonej stożkiem [tex]z=2\sqrt{x^2+y^2}[/tex] oraz płaszczyzną [tex]z=4[/tex]. Najpierw znajdujemy obszar całkowania [tex]D[/tex] na płaszczyźnie [tex]OXY[/tex] :

[tex]2\sqrt{x^2+y^2}=4 \iff \sqrt{x^2+y^2}=2 \iff x^2+y^2=4[/tex]

Zatem:

[tex]D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2:x^2+y^2 \leq 4\}[/tex]

Jest to koło o środku w początku układu współrzędnych i promieniu [tex]r=2[/tex]. Współrzędne biegunowe:

[tex]$\left\{\begin{array}{ccc}x=r\cos \varphi\\y=r\sin \varphi\\J(r, \varphi)=r\end{array}\right[/tex]

Ponadto:

[tex]0 \leq r \leq 2[/tex]

[tex]$0 \leq \varphi \leq 2\pi[/tex]

Całka:

[tex]$V=\iint\limits_{D} \text{d}x\text{d}y=\int\limits^{2\pi}_{0}\Bigg(\int\limits^{2}_{0}(4-2r)r \ \text{d}r\Bigg)\text{d}\varphi=\int\limits^{2\pi}_{0} \Big(2r^2-\frac23r^3\Big)\Bigg|^{2}_{0} \text{d}\varphi=[/tex]

[tex]$=\frac83\int\limits^{2\pi}_{0} \ \text{d}\varphi=\frac83 \cdot \varphi \Bigg|^{2\pi}_{0}=\frac{16}{3}\pi[/tex]