Całka nieoznaczona. Potrzebuję na 4 konkretnych przykładach wyliczeń poprzez metody całkowania przez.... Question from @tomgr41

October 2018 1 31 Report

Całka nieoznaczona. Potrzebuję na 4 konkretnych przykładach wyliczeń poprzez metody całkowania przez części i całkowania przez podstawianie i wytłumaczenia dlaczego dana metoda jest lepsza. Najlepiej po 2 przykłady każdej z tych metod z wytłumaczeniem ( definicje)

hhtp

całkowanie przez podstawienie - stosujesz najczęściej wtedy, gdy umiemy wyznaczyć fragment funkcji pod który podstawamy t i jednocześniej widzimy w danej funkcji pochodną (bądź część pochodnej np bez liczby) tego podstawienia

$\int \frac{lnx}{x} dx =\\ t=lnx \\ dt = \frac{1}{x} dx \\ =\int t dt = \frac{1}{2}t^2 +c = \frac{1}{2}ln^2 x + c$

$\int \frac{cosx}{1+sinx} dx = \\ t=1+sinx \\ dt = (1+sinx)^{'} = cosx dx\\ =\int \frac{1}{t} dt = ln|t| +c = ln|1+sinx| + c$

$\int xe^x^2 dx =\\ t=x^2\\ dt=2x dx \\ \frac{1}{2} dt = x dx\\ =\int \frac{1}{2} e^t dt = \frac{1}{2}e^t +c = \frac{1}{2}e^{x^2} + c$

całkowanie przez części - najczęściej stosujemy przy dwóch funkcja różnego rodzaju

$\int (u\cdot v^{'}) dx = uv - \int (u^{'} v) dx$

definicja :

całkowanie przez części to forma liczenia całek typu $\int f(x) g(x) dx$ jeśli umiemy znaleźć takie $h(x)$ , że $h^{'}(x) = f(x)$ i wtedy naszą całkę możemy przekształcić :

$\int f(x)g(x) dx = \int h^{'}(x) g(x)dx = h(x)g(x) - \int h(x)g^{'}(x) dx$

$\int xe^x dx =\\ u=x, u^{'} = 1\\ v^{'}=e^x, v=e^x \\ =xe^x -\int e^x dx = xe^x - e^x + c$

$\int xlnx dx = \\ u=lnx, u^{'} = \frac{1}{x}\\ v^{'}=x, v=\frac{1}{2}x^2\\ =\frac{1}{2}x^2lnx - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} dx = \\ =\frac{1}{2}x^2 lnx - \frac{1}{2} \int x dx = \\ =\frac{1}{2}x^2 lnx - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}x^2 +c = \\ =\frac{1}{2}x^2 lnx - \frac{1}{4} x^2 +c$