Question

Byłoby wspaniale, gdyby udało się Wam rozwiązać to dziś.

1)

Wyznacz wszystkie dwucyfrowe m takie, że suma dwóch ostatnich cyfr ich dowolnej potęgi o wykładniku naturalnym tworzą liczbę równą m.

2)

Na miejscu jedności pewnej liczby trzycyfrowej stoi pewna cyfra. Jeżeli tę cyfrę przeniesiemy na pierwsze miejsce, to otrzymamy liczbę większą od pierwotnej o jej trzecią część. Jakie liczby trzycyfrowe spełniają ten warunek?

3)Udowodnij nie używając kalkulatura, że istnieje x naturalne, takie, że 63x = liczba naturalna kończąca się 13.

Answer 1

1)

Jeśli ostatecznie suma dwóch ostatnich cyfr (czyli liczb z zakresu (0;9) ) ma się równać tej liczbie, więc liczba ta jest maksymalnie równa: 9+9 = 18.

A ze mowa o liczbie dwucyfrowej, wiec m jest z zakresu (10;18). Wystarczy teraz kolejno sprawdzać dla liczb z tego zakresu czy spełniają warunki zadania - okazuje się że żadna z nich nie spełnia tego warunku.

2)

Czyli jeśli mamy liczbę abc (gdzie a-cyfra setek, b -cyfra dziesiątek, c-jedności),

to zachodzi:

100c + 10b + c = (4/3) (100c + 10a + b)

Czyli:

3(100c + 10b + c) = 4(100c + 10a + b)

Czyli:

Wiedząc, że każda z tych cyfr jest z zakresu (0;9), żeby liczba c była naturalna,wyrażenie też musi być naturalne. Więc jadąc kolejno dla a=1;2;3...;9, znajduje się kilka róznych rozwiązań:

a;b        c

1;6        2

2;4        3

3;2        4

4;0        5

4;8        6

5;6        7

6;4        8

7;2        9

Podsumowując, warunek ten spełniają liczby trzycyfrowe:

162; 243; 324; 405; 486; 567; 648; 729

 

3) Niech x = 100L + 10a + b

gdzie L - jakakolwiek liczba (nieważne ilo-cyfrowa)

a - cyfra dziesiątek liczby x (z przedziału (0;9) )

b - cyfra jedności liczby x (z przedziału (0;9) )

Wtedy:

63x = (60+3)(100L + 10a + b) = 6300L + 600a + 10*(3a + 6b) + 3b

W efekcie mnożenia, powstaje nam właśnie taka liczba. Jeśli jej dwie ostatnie cyfry wynoszą 13. Więc jej cyfra jedności wynosi 3. Żeby tak było, cyfra jedności mnożenia "3b" też musi wynosić 3. Dzieje się tak dla b=1.

Żeby liczba ta kończyła się "13", liczba dziesiatek musi wynosić "1".

Ponieważ b=1 (czyli 3b=9), więc nie wpływa na zmianę cyfry dziesiątek. Więc wystarczy, żeby wyrażenie (3a+6b) dawało cyfrę jedności równą "1".

Ponieważ b=1, więc (3a+6b) = 3a+6. Wyrażenie to daje cyfrę jedności "1" tylko dla a=5.

Dlatego wystarczy, że weźmiemy dowolną liczbę postaci:  A51 (czyli dowolną liczbę- o dowolnej długości, kończącą się 51) i pomnożymy ją przez 63, to w wyniku dostaniemy liczbę o dwóch ostatnich cyfrach = 13.