Butuh bantuan soal PD.Eksak di atas.... Question from @Pertamaxmaho

December 2019 1 45 Report

Butuh bantuan soal PD.Eksak di atas

Adjie564 Materi : Persamaan Diferensial

PD :

$(2xy{e}^{{x}^{2}y}+{y}^{2}{e}^{x{y}^{2}}+1)\,dx+({x}^{2}{e}^{{x}^{2}y}+2xy{e}^{x{y}^{2}}-2y)\,dy=0$

Cek dahulu apakah PD sudah eksak, untuk menurunkan fungsinya kita membutuhkan rumus turunan perkalian :

y = U.V----->y' = U'V + UV'

$\frac{\partial{M}}{\partial{y}}=2x{e}^{{x}^{2}y}+2{x}^{3}y{e}^{{x}^{2}y}+2y{e}^{x{y}^{2}}+2x{y}^{3}{e}^{x{y}^{2}}\\\frac{\partial{N}}{\partial{x}}=2x{e}^{{x}^{2}y}+2{x}^{3}y{e}^{{x}^{2}y}+2y{e}^{x{y}^{2}}+2x{y}^{3}{e}^{x{y}^{2}}$

Karena $\frac{\partial{M}}{\partial{y}}=\frac{\partial{N}}{\partial{x}}$ , maka PD memang eksak, selanjutnya gunakan metode PD eksak untuk menyelesaikannya.

Jika $\frac{\partial{u}}{\partial{x}}=M$ , maka $u=\int{M}\,{dx}+k(y)$ .

Karena $M=2xy{e}^{{x}^{2}y}+{y}^{2}{e}^{x{y}^{2}}+1)$

$u=\int{2xy{e}^{{x}^{2}y}+{y}^{2}{e}^{x{y}^{2}}+1}\,{dx}+k(y)\\u={e}^{{x}^{2}y}+{e}^{x{y}^{2}}+x+k(y)...(1)$

Selanjutnya, turunkan (1) terhadap y sehingga :

$\frac{\partial{u}}{\partial{y}}=N\\{x}^{2}{e}^{{x}^{2}y}+2xy{e}^{x{y}^{2}}+\frac{dk}{dy}={x}^{2}{e}^{{x}^{2}y}+2xy{e}^{x{y}^{2}}-2y\\\frac{dk}{dy}=-2y\\\int{\frac{dk}{dy}}=\int{-2y}\\k(y)=-{y}^{2}+c$ .

Substitusi k(y) ke persamaan (1), diperoleh :

$u={e}^{{x}^{2}y}+{e}^{x{y}^{2}}+x-{y}^{2}+c\\{e}^{{x}^{2}y}+{e}^{x{y}^{2}}+x-{y}^{2}=k$ .

Jadi, solusinya ${e}^{{x}^{2}y}+{e}^{x{y}^{2}}+x-{y}^{2}=k$ .

Semoga membantu.

0 votes Thanks 1

Pertamaxmaho om mau apakah tekanan parsial yang bentuk perkalian semuanya memai sifat u.v misal kalau ada bentuk 2xy^2 apalah bisa kalau solusinya diselesaikan dengan u.v soalnya selama saya mengerjakan soal turunan parsial saya belum menemukan soal memakai sifat tersebu saya hanya menemukan di soal turunan biasa mohon pencerahannya om

Adjie564 Tidak semua bentuk perkalian pakai rumus u.v, contoh soal yg km buat 2xy², klu diturunkan secara parsial terhadap x, maka km bisa mengganggap y² sbg konstanta (koefisien). Intinya parsial itu artinya sebagian, tergantung kondisi soalnya.

Adjie564 klu pd soal ini, bentuk fungsinya 2xye^(x²y) ini kan ada 2 fungsi yaitu 2xy dan e^(x²y), makanya lebih cocok pake u.v mas