Mohon bantuannya soal PD bernoulli.... Question from @Pertamaxmaho

December 2019 1 140 Report

Mohon bantuannya soal PD bernoulli

Adjie564 Materi : Persamaan Diferensial Bernoulli

$\cos{\theta}\,dr+(r\sin{\theta}-{r}^{2}\cos^{3}{\theta})\,d\theta=0$

Untuk mengerjakan ini, ubah PD nya menjadi seperti PD linear orde 1

Bagilah kedua ruas dengan $\cos{\theta}\,d\theta$ , sehingga menjadi :

$\frac{dr}{d\theta}+(r\tan{\theta}-{r}^{2}\cos^{2}{\theta})=0\\\frac{dr}{d\theta}+(\tan{\theta})r={r}^{2}\cos^{2}{\theta}$

Kemudian, sesuai dengan konsep Bernoulli, bagilah dengan r² di kedua ruas sehingga diperoleh :

${r}^{-2}\frac{dr}{d\theta}+(\tan{\theta}){r}^{-1}=\cos^{2}{\theta}$

Misalkan $u={r}^{-1}$ , maka :

$\frac{du}{d\theta}=-{r}^{-2}\frac{dr}{d\theta}\\{r}^{-2}\frac{dr}{d\theta}=-\frac{du}{d\theta}$

Dengan mensubstitusikan hal itu ke PD, maka PD menjadi :

$-\frac{du}{d\theta}+(\tan{\theta})u=\cos^{2}{\theta}\\\frac{du}{d\theta}-(\tan{\theta})u=-\cos^{2}{\theta}$

Ambil $P(\theta)=-\tan{\theta}$ , maka faktor integrasinya adalah :

$F(\theta)={e}^{\int{P(\theta)}\,d\theta}}={e}^{\int{-\tan{\theta}\,d\theta}}\\F(\theta)={e}^{\ln{cos{\theta}}}=\cos{\theta}$

Kalikan ke PD sehingga :

$\cos{\theta}\frac{du}{d\theta}-(\sin{\theta})u=-cos^{3}{\theta}$

Perhatikan ! ternyata $-u\sin{\theta}$ adalah turunan pertama dari $u\cos{\theta}$ terhadap $\theta$ , maka :

$u\cos{\theta}\frac{d}{d\theta}=-cos^{3}{\theta}\\\int{\frac{d}{d\theta}(u\cos{\theta})}=\int{-cos^{3}{\theta}}\\u\cos{\theta}=-\sin{\theta}+\frac{1}{3}\sin^{3}{\theta}+c$

Karena u = 1/r, maka solusi menjadi :

$\cos{\theta}=-r\sin{\theta}+\frac{r}{3}\sin^{3}{\theta}+cr\,(kali 3)\\r\sin^{3}{\theta}-3r\sin{\theta}-3\cos{\theta}+3cr=0$

Semoga membantu.

0 votes Thanks 0