Question

boki trójkąta zawierają się w prostych 4x+3y-21=0 ; x+2y-4=0 ;3x+y-7=0

wyznacz współżędne wierzchołków tego trójkonta i oblicz jego pole

Answer 1

4x + 3y - 21 = 0

x +2y - 4 = 0  => x = 4 - 2y

-------------------------

4*( 4 - 2y) +3y =21

16 - 8y + 3y = 21

- 5y = 5

y = - 1

--------

x = 4 - 2*(-1) = 4 + 2 = 6

-------------------------------

A = ( 6 ; - 1)

==============

4x + 3y -21 = 0

3x + y - 7 = 0  =>  y = 7 - 3x

--------------------------------------

4x + 3*( 7 - 3x) - 21 =0

4x + 21 - 9x -21 = 0

- 5x = 0

x = 0

---------

y = 7 -3*0 = 7 - 0 = 7

--------------------------

B = ( 0; 7 )

===========

x + 2y - 4 = 0

3x + y - 7 = 0  =>  y = 7 - 3x

----------------------------------

x + 2*( 7 - 3x) - 4 = 0

x + 14 - 6x - 4 = 0

- 5x = - 10

x = 2

-----------

y = 7 - 3*2 = 7 - 6 = 1

------------------------------

C = ( 2 ; 1)

===========

Odp.  A = ( 6; - 1),  B = ( 0; 7),  C = ( 2; 1)

=========================================

 I AB I^2 = ( 0 - 6)^2 + ( 7 - (-1))^2 = (-6)^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100

zatem

I AB I = p(100) = 10

------------------------

pr AB : 4x + 3y - 21 = 0

 

A = 4,  B = 3,  C = -21

C = ( 2; 1)

x0 = 2;  y0 = 1

h  - wysokość trójkąta ABC  , to odległość punktu C od pr AB

Obliczamy z wzoru:

h = I A x0 + B y0 + C I / p( A^2 + b^2)

Po podstawieniu mamy

h = I 4*2 + 3*1 + (-21) I / p ( 4^2 + 3^2 )

h = I 8 + 3 - 21 I/ p( 16 + 9)

h = I - 10 I / p ( 25)

h = 10 / 5 = 2

==============

Pole trójkata ABC

P = 0,5 * I AB I *h

Odp.

P = 0,5 *10 * 2 = 10

===============================