Question

Boki prostokąta ABCD mają długości |AB|=20, |BC|=25. Oblicz odległość między środkami okręgów wpisanych w trójkąty ABC i CDA.

PROSZE O POMOC !
DAM NAJ ZA POPRAWNE ROZWIĄZANIE !

Answer 1

Środek okręgu wpisanego w trójkąt jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów jego wierzchołka. Jedną z nich jest dwusieczna kąta 90° wierzchołka B lub D. Punkty styczności M, N, P, R okręgów o środkach S₁ i S₂ z przyprostokątnymi trójkątów należą do kwadratów MBNS₁ oraz PS₂RD, gdzie punkt M∈AB, N∈BC, P∈AD, R∈DC (Zrób rysunek!).
Z uwagi na symetrię trójkątów wchodzących w skład prostokąta, możemy zauważyć, że środki S₁ i S₂ okręgów są wierzchołkami prostokąta KS₁LS₂ o bokach AB-2r oraz BC-2r, które są wzajemnie równoległe do boków prostokąta ABCD. Odległość między wierzchołkami S₁ i S₂ jest długością przekątnej tego prostokąta, którą łatwo wyznaczymy z tw. Pitagorasa:

Nie znamy długości promienia okręgów wpisanych, ale możemy go wyliczyć ze wzoru lub wyprowadzić. Gotowy wzór na promień okręgu wpisanego do trójkąta prostokątnego o bokach a, b, c:

Oczywiście z tw. Pitagorasa:

Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny możemy wyprowadzić zauważając, że jego pole możemy wyrazić sumą 3 trójkątów o podstawach a, b i c i jednakowych wysokościach r:

We wzorze tym widzimy, że promień jest stosunkiem 2 pól trójkąta do jego obwodu.
Resztę, mam nadzieję zrobisz sam: zostało wyłącznie podstawienie danych do wzorów na r oraz szukanej odległości x=S₁S₂.