Question

Bok rombu ma 8 cm, a jeden z jego kątów 60 stopni. Oblicz długość krótszej przekątnej. Jakiej długości jest dłuższa przekątna?
--------------------------------------------------------------
Pole rombu o przekątnych d₁ i d₂ jest równe ½d₁ * d₂.

Answer 1

A-=8cm
skoro kat ostry ma 60⁰, to rozwarty ma 36-2×60=360-120=240
240:2=120⁰
przekatne rombu dziela sie na pół pod katem prostym i sa dwusiecznymi katów, czyli krótsza przekątna dzieli kąt 120 na 2 po 60⁰ i dzieli romb na 2 przystające trójkaty równoboczne o boku a=8cm
czyli d₁=8cm

wysokosc poprowadzona z kata 120⁰ dzieli ten kąt na 30i 90⁰ i tworzy Δ prostokatny o kcie 30⁰

z własnosci kata 30⁰ wiesz,że h=8√3:2=4√3cm

pole=ah=8×4√3=32√3cm²

pole=½d₁d₂
32√3=½×8d₂
d₂=32√3:4=8√3cm


sprawdzamy bok;
½d₁=4cm
½d₂=4√3cm
a=√4²+(4√3)²=√16+48=√64=8

odp. d₁=8cm
d₂=8√3cm

Answer 2

Dane:

a = 8 cm
α = 60
d = ? [cm]
d₁= ? [cm]

0,5d₁/a = sin½α /*a

0,5d₁ = a*sin½α /*2

d₁ = 2a*sin½α

d₁ = 2(8 cm)*sin30

d₁ = 2*0,5*8 cm

d₁ = 8 cm

0,5d/a = cos½α /*a

0,5d = a*cos½α /*2

d = 2a*cos½α

d = 2(8 cm)*cos30

d = 16*√3/2 cm

d = 8√3 cm

Odp: Przekątne rombu mają długości: 8 cm i 8√3 cm.




(0,5d₁)² + (0,5d)² = a²

(0,5*8 cm)² + 0,25d² = (8 cm)²

0,25d² = 64 cm² - 16 cm²

0,25d² = 48 cm²

1/4d² = 48 cm² /*4

d² = 4*16*3 cm