Question

BIG POINT
Seorang agen perjalanan menawarkan paket perjalanan ke danau Toba. Paket I terdiri atas 3 malam menginap, 2 tempat wisata, dan 4 kali makan. Paket II dengan 4 malam menginap, 5 tempat wisata dan 8 kali makan. paket III dengan 3 malam menginap, 2 tempat wisatan dan tidak 1 makan. Sewa hotel 250000 per malam, biaya tempat wisata 35000 dan makan 75000.
a. dengan perkalian matriks tentukan biaya hidup untuk tiap paket
b. paket mana yang termurah
(beserta caranya)

Answer 1

Kelas : XII (3 SMA)
Materi : Matriks
Kata Kunci : matriks, persamaan

Pembahasan :
Matriks merupakan jajaran bilangan-bilangan berbentuk persegi panjang atau persegi yang tersusun dalam baris dan kolom yang terletak di dalam kurung biasa (   ) atau kurung siku [   ].

Bilangan di dalam kurung dinamakan elemen dari matriks. Elemen horisontal dinamakan baris dan elemen vertikal dinamakan kolom.

Sebuah matriks diberi lambang dengan huruf kapital, seperti A, B, dan seterusnya, sedangkan elemen matriks diberi lambang dengan huruf kecil berindeks, yaitu aij dengan 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, serta m dan n menyatakan banyaknya baris dan banyaknya kolom. Contoh : a₁₂, a₂₃, dan seterusnya.

Ordo matriks merupakan bilangan asli yang menyatakan banyaknya baris dan kolom dari matriks tersebut. Seperti matriks A memiliki m baris dan n kolom, dapat dinyatakan sebagai matriks A berordo m x n. Untuk m = n, dapat dinyatakan sebagai matriks A berordo n.

Mari kita lihat soal tersebut.
Soal salah, seharusnya sebagai berikut.
Seorang agen perjalanan menawarkan paket perjalanan ke Danau Toba. Paket I terdiri atas 3 malam menginap, 2 tempat wisata, dan 4 kali makan. Paket II dengan 4 malam menginap, 5 tempat wisata, dan 8 kali makan.
Paket III dengan 3 malam menginap, 3 tempat wisata, dan 3 kali makan. 
Sewa hotel Rp.250.000,00 per malam, biaya pengangkutan ke tiap tempat wisata Rp.35.000,00, dan makan di restoran yang ditunjuk Rp.75.000,00.
a) dengan menggunakan perkalian matriks, tentukan matriks biaya untuk tiap paket!
b) paket mana yang menawarkan biaya termurah?

Jawab :
a. Paket dan biaya disajikan dalam tabel berikut.

Paket     Hotel               Tempat Wisata             Restoran
               (per malam)     (banyaknya obyek)     (banyaknya makan)
I              3                       2                                  4
II             4                       5                                  8
III            3                       3                                   3
Hotel : Rp250.000,00 per malam, tempat wisata : Rp35.000,00 per obyek dan makan : Rp75.000,00 per restoran.

Misalkan paket I = x, paket II = y, dan paket III = z, maka tabel di atas dapat ditulis dalam bentuk persamaan



⇔ 

Matriks tersebut kita selesaikan menggunakan sistem persamaan linear.
3x + 4y + 3z = 250.000 ... (1)
2x + 5y + 3z = 35.000   ... (2)
4x + 8y + 3z = 75.000   ... (3)

Persamaan (1) dan (3), kita eliminasi z, diperoleh
3x + 4y + 3z = 250.000
4x + 8y + 3z = 75.000     
___________________-
⇔ -x - 4y = 175.000 ... (4)

Persamaan (2) dan (3), kita eliminasi z, diperoleh
2x + 5y + 3z = 35.000
4x + 8y + 3z = 75.000
__________________-
⇔ -2x - 3y = -40.000 ... (5)

Persamaan (4) dan (5) kita eliminasi x, diperoleh
-x - 4y = 175.000   |.2|
-2x - 3y = -40.000 |.1|

-2x - 8y = 350.000
-2x - 3y = -40.000
________________-
⇔ -5y = 390.000
⇔ y = -78.000 ... (6)

Kita substitusikan persamaan (6) ke persamaan (4), diperoleh
-x - 4y = 175.000
⇔ x = -4y - 175.000
⇔ x = -4(-78.000) - 175.000
⇔ x = 312.000 - 175.000
⇔ x = 137.000 ... (7)

Kita substitusikan persamaan (6) dan (7) ke persamaan (1), diperoleh
3x + 4y + 3z = 250.000
⇔ 3z = 250.000 - 4y - 3x
⇔ 3z = 250.000 - 4(-78.000) - 3(137.000)
⇔ 3z = 250.000 + 312.000 - 411.000
⇔ 3z = 151.000
⇔ z = 50.333

b. Paket I Rp137.000,00, paket II Rp78.000,00 (nilainya negatif?), dan paket III Rp50.333,00.
Karena paket II bernilai negatif, kemungkinan soalnya salah.
Jika hanya paket I dan III yang kita bandingkan, maka paket III yang termurah.

Semangat!