Question

Berikan dua matriks yang memenuhi kesamaan :
i. (A + B)^2 = A^2 +B^2
ii. A^2 - B^2 = ( A - B ) (A+B)
dibantu ya

Answer 1

Pertanyaan 1. 

Taruhlah matrix A = 
| a 0 | 
| 0 0 | 
dan matrix B = 
| 0 0 | 
| 0 b | 
Maka, (A+B)^2 = A^2 + B^2. 

Pertanyaan 2. 

Persamaan di atas bisa ditulis ulang menjadi, 
A^2 - B^2 = A^2 + AB - BA - B^2, sehingga, 
0 = AB - BA, yang berakibat 
AB = BA. 

Sampai di sini yang perlu diingat, tidak semua matriks memiliki sifat komutasi. Namun ada pengecualian di sini, di mana: 
1. Matriks diagonal akan selalu bersifat komutatif. 
2. Matriks Jordan yang nilai deretnya sama di sepanjang jalur matriks triangularnya akan bersifat komutatif. 
3. Jika perkalian dua matriks simetris menghasilkan matriks simetris, maka kedua matriks bersifat komutatif. 

Karakteristik umum dari dua buah matriks yang komutatif bisa didefinisikan sebagai matriks-matriks yang dapat didiagonalisasikan. Maksudnya, jika matriks A dapat dipecah menjadi 3 matriks berbeda di mana A = T^{-1} Ad T, dan B = T^{-1} Bd T, di mana T adalah sembarang matriks yang memenuhi persamaan pemecahan matriks, T^{-1} adalah invers dari T, dan, Ad dan Bd adalah matriks diagonal, maka kita akan dapatkan 

AB = T^{-1} Ad T T^{-1} Bd T = T^{-1} Ad Bd T 

Karena Ad dan Bd adalah matriks diagonal, maka sifat komutatif berlaku, sehingga 

AB = T^{-1} Bd Ad T, yang berakibat juga, T^{-1} Bd Ad T = BA, sehingga 
AB = T^{-1} Ad Bd T = T^{-1} Bd Ad T = BA 

Contoh: 
A = 
| a 0 | 
| 0 p | 
dan matrix 
B = 
| b 0 | 
| 0 q | 
Maka, AB = BA.