Bardzo pilne!1. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym , jeśli:2. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogó.... Question from @Ktosss125

Paawełek W zadaniu pierwszym mnożymy licznik i mianownik przez (n+2+pierwiastek z (N^2+2n) i mamy:
$\frac{\sqrt{n^{2}+2n}-n}{n+2-\sqrt{n^{2}+2n}}=\frac{(\sqrt{n^{2}+2n}-n)(n+2+\sqrt{n^{2}+2n}}{[(n+2)-\sqrt{n^{2}+2n}][(n+2)+\sqrt{n^{2}+2n}]}= \\ = \frac{n\sqrt{n^{2}+2n}+2\sqrt{n^{2}+2n}+n^{2}+2n-n^{2}-2n-n\sqrt{n^{2}+2n}}{(n+2)^{2}-n^{2}-2n}=\frac{(n+2-n)\sqrt{n^{2}+2n}}{n^{2}+4n+4-n^{2}-2n}= \\ = \frac{2\sqrt{n^{2}-2n}}{2n+4}=\frac{\sqrt{n^{2}-2n}}{n+2} \\ \hbox{i liczymy granice:} \\ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n^{2}-2n}}{n+2}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sqrt{1-\frac{2}{n}}}{1+\frac{2}{n}}=$
$=\frac{\sqrt{1}}{1}=1$
Wykorzystałem wzory skróconego mnożenia to przemienienia tego, mam nadzieję że to umiesz. W liczneniu granic licznik i mianownik dzieliłem prze n.

W zadaniu 2) korzystasz ze wzoru:
$a-b=\frac{a^{2}-b^{2}}{a+b} \\ \hbox{Skad:} \\ \sqrt{2n}-\sqrt{n+10}=\frac{2n-n-10}{\sqrt{2n}+\sqrt{n+10}}=\frac{n-10}{\sqrt{2n}+\sqrt{n+10}} \\ \hbox{i dzielimy przez n:} \\ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{n-10}{\sqrt{2n}+\sqrt{n+10}}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1-\frac{10}{n}}{\sqrt{\frac{2}{n}}-\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{10}{n^{2}}}}=[\frac{1}{\sqrt{0}-\sqrt{0}}]= [\frac{1}{0}]=+\infty$

W trzecim oczywiście x>0 masz szereg geometryczny.
|q| musi być mniejsze od 1 by szereg był zbieżny, stąd:
|pierwiastek z x| < 1
-1 < pierwiastek z x < 1
pierwiastek z x < 1
x < 1
zatem x należy do <0,1)
$a_{1}=(\sqrt{x})^{2}=x \\ q=\frac{(\sqrt{x})^{3}}{(\sqrt{x})^{2}}=\sqrt{x} \\ \hbox{Suma tego szeregu wynosi:} \\ S=\frac{a_{1}}{1-q}=\frac{x}{1-\sqrt{x}} \\ \hbox{Zatem liczymy nierownosc:} \\ -1+\frac{x}{1-\sqrt{x}}<\sqrt{x} \\ \frac{x}{1-\sqrt{x}}<\sqrt{x}+1 \\ \frac{x}{1-\sqrt{x}}<\frac{(\sqrt{x}+1)(1-\sqrt{x})}{1-\sqrt{x}} \\ \\ \frac{x}{1-\sqrt{x}}<\frac{1-x}{1-\sqrt{x}} \\ \frac{x}{1-\sqrt{x}}-\frac{1-x}{1-\sqrt{x}}<0 \\$
$\frac{2x-1}{1-\sqrt{x}}<0 \\ (2x-1)(1-\sqrt{x})<0 \\ \\ \hbox{miejsca zerowe obu nawiasow to} \ \frac{1}{2} \ \hbox{oraz 1} \\ \hbox{w przedziale} \ \langle0,\frac{1}{2} ) \ \hbox{2x-1 jest ujemne, a} \ 1-\sqrt{x} \ \hbox{jest dodatnie} \\ \hbox{wiec ten przedzial spelnia nierownosc, bo wynik jest ujemny} \\ \\ \hbox{w przedziale} \ (\frac{1}{2},1) \ \hbox{oba wyrazenia sa dodatnie. Ten przedzial nie} \\ \hbox{spelnia nierownosci, bo iloczyn dwoch liczb dodatnich jest wiekszy} \\ \hbox{niz 0.} \\ \\$
$\hbox{Stad:} \\ x \in \langle 0,\frac{1}{2})$

1 votes Thanks 6

Wyznacz zbiór wartości funkcji określonej wzorem: dla x ∈ R. Proszę o jak najszybszą odpowiedź.

Opisz etyczną stronę upadku pierwszych ludzi (tekstu z Biblii)

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social