Question

Błagam, pomocy. Mógłby mi ktoś to dokładnie wytłumaczyć?

Answer 1

I sposób

f(x) = - (x - 1)(x + 5) = - (x² + 5x - x - 5) = - (x² + 4x - 5) = -x² - 4x + 5

a = - 1 < 0, b = - 4, c = 5

Jeżeli a < 0, to funkcja kwadratowa jest malejąca w przedziale ⟨p, ∞), gdzie p to pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli W = (p, q) i

Stąd:

Zatem dana funkcja kwadratowa jest malejąca w przedziale ⟨- 2, ∞).

Odp. C

II sposób

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej: f(x) = a (x - x₁)(x - x₂), gdzie x₁, x₂ to miejsca zerowe.

f(x) = - (x - 1)(x + 5)

a = - 1 < 0, x₁ = 1, x₂ = - 5

Jeżeli a < 0, to funkcja kwadratowa jest malejąca w przedziale ⟨p, ∞), gdzie p to pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli.

Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli to liczba, która znajduje się na osi x między miejscami zerowymi funkcji kwadratowej.

Miejsca zerowe danej funkcji to liczby - 5 i 1, czyli p = - 2

Zatem dana funkcja kwadratowa jest malejąca w przedziale ⟨- 2, ∞).

Odp. C

Answer 2

Odpowiedź:

Zadanie 11.

f( x )= - (x- 1)( x+ 5)

Jest to postać iloczynowa funkcji kwadratowej- wzór:

f( x ) = a (x - )(x- )

z tej postaci łatwo odczytujemy miejsca zerowe funkcji, czyli punkty przecięcia wykresu z osią X, są to  i , czyli w tej funkcji:

= 1   ,   = -5

oraz  określamy jaki jest współczynnik kierunkowy a , gdy :

a > 0 -  to ramiona paraboli skierowane są do góry,

a < 0 - to ramiona paraboli skierowane są w dół.

W tej funkcji a < 0 , więc ramiona paraboli będą skierowane w dół.

Wiemy więc jak będzie wyglądał wykres paraboli , ramiona będą skierowane w dół,a miejsca zerowe będą w punktach 1  i - 5.

Ale ,żeby określić monotoniczność funkcji,czyli w jakich przedziałach przyjmuje wartości rosnące i malejące ( w tym przypadku malejące), musimy znać współrzędne wierzchołka paraboli W = ( p, q).

W tym celu zmieniamy  tę postać  funkcji z iloczynowej na ogólną (wymnażamy nawiasy)

f(x) = - (x-1)(x+5)

f(x) = - (x²+ 5x - x- 5)

f(x)= - ( x²+ 4x - 5)    opuszczając nawias zmieniamy znaki na przeciwne,bo przed nawiasem jest minus

f(x) = - x²- 4x +5

otrzymaliśmy postać ogólną funkcji kwadratowej  - wzór:

f(x) = ax² + bx + c

i w tym  przypadku:

a = -1   , b = - 4 , c =  5

Liczymy deltę  - wzór   : Δ = b² - 4 * a *c

( będzie potrzebna do wzoru na współrzędne  wierzchołka)

Δ = (-4)² - 4 * (-1) * 5

Δ = 16 + 20 = 36

Liczymy współrzędne wierzchołka W =(p,q)  ze wzorów:

p = = = = -2     ( odpowiada osi x)

q =  -Δ / 4a = - 36/4*(-1) = = 9   ( odpowiada osi y)

Zatem wierzchołek paraboli ma współrzędne W= (-2,9).

Teraz rysujemy  rysunek paraboli w układzie współrzędnych:

rysujemy układ współrzędnych,

zaznaczamy miejsca zerowe ( na osi x to 1   i   -5  , oraz wierzchołek paraboli w punkcie (-2 , 9), rysujemy wykres przechodzący przez te trzy punkty,pamiętając, że ramiona wykresu ( paraboli) mają być skierowane w dół. Odczytujemy z wykresu przedział , w którym ta funkcja jest malejąca:

jest to  prawa część wykresu  od wierzchołka w dół , czyli przedział:

{-2 ; ∞),czyli przedział lewostronnie zamknięty(,bo -2 należy do wykresu) i prawostronnie otwarty ( do plus nieskończoności).

Odp:  C. { - 2 , ∞)

Szczegółowe wyjaśnienie:

rysunek w  załączniku: